数学理卷·2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）（2018 13页

‎2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为（ ）‎ A．-3 B．-3或9 C.3或-9 D．-9或-3‎ ‎5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.如图所示，络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A．-15 B．-9 C.1 D．9‎ ‎8.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.‎ A．4 B．8 C.12 D．24‎ ‎9.函数在的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ ‎11.在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前项和是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且 ‎）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.‎ ‎13.已知随机变量，若，则 ．‎ ‎14.在推导等差数列前项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得 ．‎ ‎15.已知正三角形（为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长是 ．‎ ‎16.已知是直角边为2的等腰直角三角形，且为直角顶点，为平面内一点，则的最小值是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，已知内角对边分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求.‎ ‎18.如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”‎ 这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下列联表.‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 ‎（Ⅰ）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ ‎（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为，求随机变量的分布列及期望.‎ 附：，其中.‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证：为定值.‎ ‎21.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求函数图象恒过的定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：极坐标与参数方程 设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，，函数.‎ ‎（Ⅰ）当，时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最大值为2，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12：AD 二、填空题 ‎13.0.8 14.44.5 15. 16.-1‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由正弦定理得 又 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∴‎ ‎（Ⅱ）由面积公式可得 ‎∴‎ ‎∴‎ 法2：可解出或代入，∴.‎ ‎18.（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴.‎ 又∵平面平面，∴平面.‎ 又∵平面，∴.‎ ‎∵，，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点为，的中点为，连接 易得底面，‎ 以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，，，‎ 设平面的一个法向量为 而，‎ 即 取得 设平面的一个法向量为 而，‎ 则即取得 由图知所求二面角为钝角 故二面角的余弦值为.‎ 法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，‎ 不妨设正方形的边长为2‎ 可得面的法向量 面的法向量 由图可得为钝角 ‎∴余弦值为.‎ ‎19.（Ⅰ）‎ 在家 其他 合计 中国 ‎22‎ ‎33‎ ‎55‎ 美国 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ 合计 ‎31‎ ‎69‎ ‎100‎ ‎∴‎ ‎∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.‎ ‎（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，的可能取值为0，1，2‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，易知，，‎ 又因为，所以，‎ 又因为在椭圆上，所以，即.‎ ‎（Ⅱ）当与轴重合时，，，‎ ‎∴.‎ 当与轴垂直时，，，‎ ‎∴.‎ 当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为 此时设，，，‎ 把直线与曲线联立，‎ 得，‎ 可得 ‎∴，‎ 把直线与曲线联立，‎ 同理可得.‎ ‎∴.‎ ‎21.（Ⅰ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，‎ 此时，所以函数的图象恒过点.‎ ‎（Ⅱ）依题意得：恒成立，∴恒成立.‎ 构造函数，‎ 则恒过，，‎ ‎①若时，，∴在上递增，‎ ‎∴不能恒成立.‎ ‎②若时，，∴.‎ ‎∵时，，函数单调递减；‎ 时，，函数单调递增，‎ ‎∴在时为极小值点，，‎ ‎∴要使恒成立，只需.‎ 设，则函数恒过，‎ ‎，‎ ‎，，函数单调递增；‎ ‎，，函数单调递减，‎ ‎∴在取得极大值0，‎ ‎∴要使函数成立，只有在时成立.‎ ‎（Ⅲ），设 ‎，令，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ 在处取得极小值 可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点 设为函数的极小值点，则，∴，，‎ 因为，因为，‎ 所以在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.‎ ‎∵函数的极小值点的横坐标，‎ ‎∴函数的极小值，∴‎ ‎22.（Ⅰ）设，则 又点的轨迹的极坐标方程为 ‎∴，，，.‎ ‎（Ⅱ）直线的直角坐标方程为 点到直线的距离为 ‎.‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，.‎ 不等式为.‎ ‎①当时，因为不等式为，所以不等式成立，‎ 此时符合；符合要求的不等式的解集为；‎ ‎②当时，因为不等式为，所以，‎ 此时，符合不等式的解集为；‎ ‎③当时，因为不等式为不成立，解集为空集；‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 ‎，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 另解：（Ⅱ）因为，，所以，‎ 所以函数 ‎，‎ 所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段，‎ 所以函数的最大值等于，所以.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 或者，‎ 当且仅当，即时，“等号”成立.‎