2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版） 12页

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. （1,0） B. （－1，0） C. (0，1) D. (0，－1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据抛物线的定义，开口向右的以x轴为对称轴的抛物线焦点落在x轴上，得到：焦点坐标为（1，0）。‎ 故答案为A。‎ ‎2．设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由“”解得或,故“”能使 “”成立；“”成立时，“”不一定成立，所以“” 是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3．已知椭圆上一点P到某一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆的定义得到P点到两焦点的距离之和为2a，故 。已知其一等于3 ，故另一解为7 。‎ 故答案为D。‎ ‎4．如果方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. k<一1 B. k>一1 C. k>1 D. k>1或k<一1‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的定义式是 根据定义和条件知 ‎ 故答案为B。‎ ‎5．已知双曲线的渐近线万程，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线 的渐近线方程为 ‎ 由渐近线方程为 可得 ‎ 可得 故选C．‎ ‎6．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由代入抛物线可得，所以，焦点，所以 ‎【考点】抛物线方程及性质 ‎7．幂函数在点(2,8)处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，当时， .‎ 故切线斜率为12，切线方程为.‎ 故选A.‎ ‎8．下列有关命题的说法错误的是 A. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两互线不平行，同位角不相筹”‎ B. “若实数x、y满足x2十y2=0，则x、y全为0”的否命题为真命题 C. 若为p︿q假命题，则p、q均为假命题 D. 对于命题p： ，则 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：C中当为假命题时、至少有一个为假命题 ‎【考点】四种命题及命题的否定 ‎9．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( )‎ A. －2 B. 2 C. －4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：先根据椭圆方程求出椭圆的右交点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值,由题,a2=2,b2=2,∴c2=4,c=2,∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,∴抛物线y2=2px中p=4,选D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质和抛物线的简单性质．‎ ‎10．若存在，使.则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】命题：存在x0∈R，使a+2x+a＜0的否定为：‎ 对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立；‎ 先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的范围：‎ ‎①当a=0时，该不等式化为2x≥0，即x≥0，不合题意；‎ ‎②当a≠0时，有 解得a≥1，‎ 由①②得a的范围是：a≥1；‎ 所以，存在x∈R，使a+2x+a＜0时a的取值范围是：a＜1．‎ 故a＜1．‎ 故答案为A。‎ ‎11．曲线上两点关于直线对称，且，则m的值为（ ）。‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x-b=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．‎ ‎∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．‎ 设AB的中点为M（x0，y0），则 x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，‎ 得y0=．又M（﹣， ）在y=x+m上，‎ ‎∴=﹣+m．∴m=．‎ 故答案为A。‎ 点睛：这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由韦达定理得到中点坐标，带入已知直线；还有解决中点弦问题和对称问题，可以点差法，由两式做差直接得中点坐标和直线斜率的关系。‎ ‎12．已知F是双曲线的右焦点，F是y轴正半轴上一点,以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M(O为坐标原点)若点P、M、F三点共线，且的面积是的面积的3倍，则双曲峨C的离心率为 A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=x交于点M，‎ 由△MFO的面积是△PMO面积的3倍，可得|MF|=3|MP|，‎ 由OM⊥PF，设F（c，0），由结论知道，焦点到相应渐近线的距离为b，‎ 可得|MF|=b，则|PM|=，‎ 在直角三角形POF中，由射影定理可得，‎ ‎|OF|2=|MF|•|FP|，‎ 即为c2=b•b=（c2﹣a2），‎ 则c2=4a2，‎ 即有e=．‎ 故答案为D。‎ 点睛：这个题目考查了双曲线的性质，焦点到相应的渐近线的距离为b,这是结论，经常在小题中应用到；还有双曲线中基本量间的关系的应用，再就是对圆的基本性质的考查，直径所对应的圆周角是直角。在圆锥曲线的小题中要注意图形的特点。‎ 二、填空题 ‎13．命题“若，则或”的否命题是_______,‎ ‎【答案】若，则.‎ ‎【解析】根据命题的否定的写法和或且非的应用得到：否命题是只否结论，或变且：若，则。‎ ‎14．已知曲线,过(0,-1)作曲线的切线.则切线的方程是____;‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设切点为（a，a2），‎ 所以y′=2x，所以y′=2a，所以切线方程为y﹣a2=2a（x﹣a），‎ 点（0，﹣1）在切线上，‎ 所以﹣1﹣a2=2a（﹣a），a=±1，‎ 即y﹣1=2（x﹣1）或y﹣1=﹣2（x+1）．‎ 即2x﹣y﹣1=0或2x+y+1=0．‎ 故答案为：2x﹣y﹣1=0或2x+y+1=0．‎ ‎15．设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足,则的面积为__________;‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】∵点P在双曲线右支上，且满足∠F1PF2=90°， ‎ ‎②﹣①2得|PF1|•|PF2|=2．∴△F1PF2的面积S= |PF1|•|PF2|=1．‎ 故结果为1.‎ ‎16．已知函数，若使得，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】满足题意时应有：f（x）在的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，‎ 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递减，‎ f（x）在 的最小值为f（1）=5，‎ 当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，‎ g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，‎ 据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，1]，‎ 故结果为： 。‎ 点睛：这是典型的双变元问题，首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目．‎ 三、解答题 ‎17．分别求适合下列条件的标准方程：‎ ‎（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程。‎ ‎【答案】(1) 椭圆的标准方程为;(2) 焦点在x轴上的双曲线的方程为,焦点在y轴上双曲线的方程为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0），由已知，2a=12，e=，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当双曲线焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为=1，由题意，得， ，由此能求出焦点在x轴上的双曲线的方程；同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程．‎ ‎（1）设椭圆的标准方程为由已知， ， ‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1‎ 由题意，得　　　解得， ．‎ 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为． ‎ 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．‎ ‎18．命题：实数满足（其中），命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 1＜a≤2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）命题p解得a＜x＜3a．若a=1，则p中：1＜x＜3，由p且q为真，可得p与q都为真，即可得出．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，可得q是p 的充分不必要条件，转化为集合间的包含关系，即可得出．‎ ‎（1）真： ； 真： ， 为真时， ．‎ ‎（2）由（1）知： ，则： 或，‎ 若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，‎ 则必有a＞0，此时p：a＜x＜3a，a＞0．‎ 则有 即 ‎ 解得1＜a≤2．‎ ‎19．已知椭圆及直线： ．‎ ‎（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求直线被此椭圆截得的弦长为时的值；‎ ‎【答案】(1) 实数的取值范围为;(2) 直线被椭圆截得的弦长的最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线与椭圆有交点，转化为有解，二次方程有解判别式大于等于0即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到，由韦达定理代入，得到关于m的方程，解出即可。‎ ‎（1）由消去，并整理得，①‎ ‎．‎ ‎∵直线与椭圆有公共点，‎ ‎∴，据此可解的，‎ 故所求实数的取值范围为．‎ ‎（2）设直线与椭圆的交点为， ，‎ 由①得： ， ，‎ 故 ，当时，直线被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ 点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，直线和圆一般是应用数形结合的方式；直线和椭圆，双曲线，一般是从数的角度来说明。联立得方程，方程的解的个数就是直线与曲线的交点个数。再就是弦长公式的应用，注意和韦达定理结合。‎ ‎20．已知函数且；‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过是否存在既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出直线方程；若果不存在请说明理由 ‎【答案】（1）a=-2；（2）y=9.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第一小问较简单，只要求出函数f（x）的导数即可解决，根据导数的几何意义，可得；求出a值即可；（2‎ ‎）先观察条件可知道两个函数在同一水平线处分别取得极大值和极小值，且过（0，9），做切线方程，故方程为y=9。‎ 解：（1） ‎ ‎（2） ，根据导函数的正负可以判断原函数在 上是减函数，在 上是增函数，（-1，2）上是减函数，函数在2 处取得极大值9， 是二次函数开口向上，在-1处取得最小值9 ，故由图像知道两个函数在同一水平线处分别取得极大值和极小值，且过（0，9），做切线方程，故方程为y=9。‎ ‎21．已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；‎ ‎（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆C1的方程为的左、右焦点为（﹣，0），（，0），‎ 则C2的左、右顶点为（﹣，0），（，0），C1的左、右顶点为（﹣2，0），（2，0），则C2的左、右焦点为（﹣2，0），（2，0）．则双曲线的a=，c=2，b=1．‎ 即有双曲线C2的方程为： ；‎ ‎（2）①‎ ‎②‎ 由①②得,③‎ 由①②③得 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22．已知椭圆的右焦点为,左顶点为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线与轴的交点是定点,坐标为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得 椭圆的方程为 ‎（2）①当直线与轴垂直时 的方程为联立直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时设直线的方程为联立且即由题意知 或 ‎ 直线与轴的交点为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为 联立得解得 此时直线的方程为直线与轴的交点为 ‎②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 联立得 设则 且即 而由题意知, ‎ 即 解得或 当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为 ‎【点睛】‎ 本题的几个关键难点有：‎ 利用分类讨论思想确立解题总体思路,即：①直线与轴垂直，②当直线不垂直于轴；‎ 利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为；‎ 较为繁杂的计算量.‎ ‎23．已知函数 ‎（I）求的导函数 ‎（II）求在区间上的取值范围 ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得的导数；（Ⅱ）令，解得或，进而判断函数的单调区间，结合区间端点值求解函数的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为， ，‎ 所以 ．‎ ‎（Ⅱ）由 ‎，解得 或．‎ 因为 x ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1， ）‎ ‎（， ）‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ f（x）‎ ‎0‎ 又，‎ 所以f（x）在区间上的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．‎ ‎24．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． ‎ ‎【答案】（1）0.6；（2）0.8.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定需求量不超过300瓶的天数为，再根据古典概型的概率计算公式求概率；（2）先分别求出最高气温不低于25（36天），最高气温位于区间[20，25）（36天），以及最高气温低于20（18天）对应的利润分别为，所以大于零的概率估计为.‎ 试题解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900； ‎ 若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；‎ 若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450= -100.‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，-100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：‎ ‎（1）列举法.‎ ‎（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎