专题9-1+直线的方程（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 11页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第九章 解析几何 第一节 直线的方程 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 直线与方程 ‎(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎2013•新课标I. 21;‎ ‎2014•新课标I.20，21； II.20;‎ ‎2015•新课标I.20,21；II.20; ‎ ‎2016•新课标II.16,23;‎ ‎2017•新课标III.20.‎ ‎1.考查直线的斜率与倾斜角；‎ ‎2.考查直线方程的几种形式．‎ ‎3.与其它知识（如充要条件、导数的几何意义等）相结合，考查直线与方程的应用.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解直线的斜率与倾斜角的关系，掌握直线的斜率与倾斜角的求法；‎ ‎ (2)掌握直线方程的几种形式，特别是点斜式.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.直线的倾斜角与斜率 ‎1．直线的倾斜角 ‎①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎②范围：倾斜角的范围为．‎ ‎2．直线的斜率 ‎①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .‎ ‎②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.‎ ‎3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．‎ ‎4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：‎ ‎（1）当时，越大，斜率越大；‎ ‎（2）当时，越大，斜率越大.‎ 对点练习：‎ ‎【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎2.直线的方程 ‎1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：‎ ‎.这个方程就叫做直线点斜式方程.‎ 特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.‎ ‎2.直线的两点式方程 直线过两点其中，则直线的方程为：‎ ‎.这个方程叫做直线的两点式方程.‎ 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.‎ 特别地，若直线过两点，则直线的方程为：‎ ‎，这个方程叫做直线的截距式方程.‎ ‎3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.‎ 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.‎ 对点练习：‎ ‎【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线经过点，且斜率为，则 即 故选A ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 高考对直线方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 直线的倾斜角与斜率 ‎【1-1】经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)‎ A.－1 B.－3 C.0 D.2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由＝，得，故选.‎ ‎【1-2】【2017届河北武邑中学高三周考】过点和 的直线的斜率为1，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．2 ‎ C．1或4 D．1或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意有．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；‎ ‎2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围． ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，且.设直线的倾斜角为，当时，则，所以倾斜角的范围为.当时，则，所以倾斜角的范围为.‎ ‎【变式二】已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.‎ ‎2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．‎ 考点2 直线的方程 ‎【2-1】【2017届河北武邑中学高三周考】已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，直线额倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程为.‎ ‎【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ 求直线方程的常用方法有 ‎1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．‎ ‎2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．‎ ‎3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】若直线在两坐标轴上的截距都为，即直线过原点，则直线的斜率为，所以直线方程为：.‎ 若直线在两坐标轴上的截距都不为，则可设为．由截距式方程可得，直线的方程为：，即.因为直线过点，所以.‎ 所以直线方程为：，即所以直线方程为：.‎ ‎【变式二】将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：设直线l的方程为．‎ ‎(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；‎ ‎(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围．‎ 易错分析：易忽视截距均为的情况而失解．‎ 正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴，方程即为 ‎.‎ 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝，即方程即为.综上，的方程为.‎ ‎(2)将的方程化为 ‎∴或,‎ 综上可知的取值范围是．‎ 温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：‎ ‎【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】已知方程．‎ ‎（1）求该方程表示一条直线的条件；‎ ‎（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；‎ ‎（3）已知方程表示的直线在轴上的截距为-3，求实数的值；‎ ‎（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）；（4）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当的系数不同时为零时，方程表示一条直线，分别令，，解得时同时为零，故；（2）斜率不存在，即，解得；（3）依题意，有，解得；（4）依题意有，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当的系数不同时为零时，方程表示一条直线，‎ 令，解得；‎ 令解得．‎ 所以方程表示一条直线的条件是且．‎ ‎（4）因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，‎ 故由，解得或（舍去）．‎ 所以直线的倾斜角为45°时，．‎ ‎ ‎