2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数 18页

‎2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数 一、选择题 ．（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（天津理））设,则“”是“为偶函数”的 （　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ．（2012年高考（新课标理））已知,函数在上单调递减.则的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是 ．（2012年高考（重庆理））设是方程的两个根,则的值为 （　　）‎ A． B． C．1 D．3‎ ．（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是 （　　）‎ A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.‎ ．（2012年高考（陕西理））在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（山东理））若,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（辽宁理））已知,(0,π),则= （　　）‎ A．1 B． C． D．1‎ ．（2012年高考（江西理））若tan+ =4,则sin2= （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 （　　）‎ A．[ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[- , ]‎ ．（2012年高考（大纲理））已知为第二象限角,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ．（2012年高考（重庆理））设的内角的对边分别为,且则______‎ ．（2012年高考（上海春））函数的最小正周期为_______.‎ ．（ 2012年高考（江苏））设为锐角,若,则的值为____.‎ ．（2012年高考（湖南理））x y O A P C B 图4‎ 函数f(x)=sin ()的导函数 的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.‎ ‎(1)若,点P的坐标为(0,),则______ ;‎ ‎(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为_______.‎ ．（2012年高考（湖北理））设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角_________. ‎ ．（2012年高考（福建理））已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.‎ ．（2012年高考（大纲理））当函数取得最大值时,_______________.‎ ．（2012年高考（北京理））在△ABC中,若,,,则___________.‎ ．（2012年高考（安徽理））设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 ①若;则 ②若;则 ‎ ③若;则 ④若;则 ⑤若;则 三、解答题 ．（2012年高考（天津理））已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ．（2012年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.‎ ．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)‎ 设,其中 ‎(Ⅰ)求函数 的值域 ‎(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.‎ ．（2012年高考（四川理））函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求的值及函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值.‎ ．（2012年高考（上海理））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以‎1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海 x O y P A 里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 ‎;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?‎ ．（2012年高考（陕西理））函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)设,则,求的值.‎ ．（2012年高考（山东理））已知向量,函数的最大值为6.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. ‎ ．（2012年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.‎ ．（2012年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ．（2012年高考（江苏））在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ．（2012年高考（湖北理））已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.‎ ．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数(其中)的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设、,,,求的值.‎ ．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.‎ ．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效)‎ 的内角、、的对边分别为、、,已知,求.‎ ．（2012年高考（北京理））已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间. ‎ ．（2012年高考（安徽理））设函数 ‎(I)求函数的最小正周期;‎ ‎(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式.‎ ‎2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数参考答案 一、选择题 【答案】A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. ‎ ‎【解析】∵,由正弦定理得,又∵,∴,所以,易知,∴,=. ‎ 【答案】A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. ‎ ‎【解析】∵为偶函数,反之不成立,∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件. ‎ 【解析】选 ‎ ‎ 不合题意 排除 ‎ ‎ 合题意 排除 ‎ 另:, ‎ 得: ‎ 【答案】A ‎ ‎【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=,得:y3=0;观察即得答案. ‎ 【答案】A ‎ ‎【解析】 ‎ ‎【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. ‎ [解析] 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得, ‎ 所以C是钝角,选C. ‎ 解析:由余弦定理得,当且仅当时取“=”,选C. ‎ 【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D. ‎ 【答案】A ‎ ‎【解析一】 ‎ ‎,故选A ‎ ‎【解析二】 ‎ ‎,故选A ‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. ‎ D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. ‎ 因为,所以.. ‎ ‎【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“‎1”‎互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,]. ‎ ‎【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域. ‎ 答案A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题. ‎ ‎【解析】,两边平方可得 ‎ 是第二象限角,因此, ‎ 所以 ‎ 法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又 ‎ 所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选. ‎ 二、填空题 【答案】 ‎ ‎【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理 ‎ ‎【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. ‎ ‎ 【答案】. ‎ ‎【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. ‎ ‎【解析】∵为锐角,即,∴. ‎ ‎∵,∴.∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎. ‎ 【答案】(1)3;(2) ‎ ‎【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时 ‎ ‎; ‎ ‎(2)由图知,,设的横坐标分别为. ‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为. ‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P在图像上求, ‎ ‎(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. ‎ 考点分析:考察余弦定理的运用. ‎ 解析:由 ‎ 根据余弦定理可得 ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为 ‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力. ‎ 答案: ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. ‎ ‎【解析】由 ‎ 由可知 ‎ 当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值. ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得,答案为. ‎ ‎【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解. ‎ 【解析】正确的是①②③ ‎ ① ‎ ② ‎ ③当时,与矛盾 ‎ ④取满足得: ‎ ⑤取满足得: ‎ 三、解答题 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,的最小正周期. ‎ ‎(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为. ‎ ‎【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. ‎ 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点. ‎ ‎(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=, ‎ 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA ‎ ‎=cosC+sinC. ‎ 整理得:tanC=. ‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=. ‎ 又由正弦定理知:, ‎ 故. (1) ‎ 对角A运用余弦定理:cosA=. (2) ‎ 解(1) (2)得: or b=(舍去). ‎ ‎∴ABC的面积为:S=. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) . ‎ 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值. ‎ 解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因,所以函数的值域为 ‎ ‎(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数. ‎ 依题意知对某个成立,此时必有,于是 ‎ ‎,解得,故的最大值为. ‎ [解析](Ⅰ)由已知可得: ‎ ‎=3cosωx+ ‎ 又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4 ‎ 所以,函数 ‎ 所以,函数 ‎ ‎(Ⅱ)因为(Ⅰ)有 ‎ ‎ ‎ 由x0 ‎ 所以, ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. ‎ [解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程 ‎ 中,得P的纵坐标yP=3 ‎ 由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时 ‎ 由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向 ‎ 为北偏东arctan弧度 ‎ ‎(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为. ‎ 由,整理得 ‎ 因为,当且仅当=1时等号成立, ‎ 所以,即. ‎ 因此,救援船的时速至少是‎25海里才能追上失事船 ‎ 解析:(1)∵函数的最大值为3,∴即 ‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期为 ‎ ‎∴,故函数的解析式为 ‎ ‎(2)∵ ‎ 即 ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎∴,故 ‎ 解析:(Ⅰ), ‎ 则; ‎ ‎(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象, ‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数. ‎ 当时,,. ‎ 故函数在上的值域为. ‎ 另解:由可得,令, ‎ 则,而,则, ‎ 于是, ‎ 故,即函数在上的值域为. ‎ 【答案及解析】 ‎ ‎(1)由已知 ‎ ‎(2)解法一:,由正弦定理得 ‎ 解法二:,,由此得得 ‎ 所以, ‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. ‎ 【解析】 ‎ 解:(1)证明:由 及正弦定理得: ‎ ‎, ‎ 即 ‎ 整理得:,所以,又 ‎ 所以 ‎ ‎(2) 由(1)及可得,又 ‎ 所以, ‎ 所以三角形ABC的面积 ‎ ‎【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. ‎ 【答案】解:(1)∵,∴,即. ‎ 由正弦定理,得,∴. ‎ 又∵,∴.∴即. ‎ ‎(2)∵ ,∴.∴. ‎ ‎∴,即.∴. ‎ 由 (1) ,得,解得. ‎ ‎∵,∴.∴. ‎ ‎【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. ‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明. ‎ ‎(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值. ‎ 考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. ‎ 解析:(Ⅰ)因为 ‎ ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴,可得, ‎ 所以,即. ‎ 又,,所以,故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎(Ⅱ)由的图象过点,得, ‎ 即,即. ‎ 故, ‎ 由,有, ‎ 所以,得, ‎ 故函数在上的取值范围为. ‎ 解析:(Ⅰ),所以. ‎ ‎(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,所以. ‎ 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. ‎ 解:(1)选择(2)式计算如下 ‎ ‎(2)证明: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. ‎ ‎【解析】由, ‎ 由正弦定理及可得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎