2017-2018学年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（Word版） 8页

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考数学（文）试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、设， 满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、“直线与圆相切”是“”的（ ）‎ A.充要条件 B. 充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5、设向量，， ，若与平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、设， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、已知函数的图象在点处的切线斜率是，则此切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、执行如图所示的程序框图，若输出的值为10，则判断 框图可填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知椭圆C：，的上、下 顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B. C. D.‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)‎ ‎13、已知，则的最小值为 ‎ ‎14、已知等比数列满足，则 ‎ ‎15、已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，则双曲线的标准方程是 ‎ ‎16、表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则棱锥体积的最大值为 ‎ 三、解答题：(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17、（本题满分10分）已知等差数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前n项和．‎ ‎18、（本题满分12分）若的内角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）当时， 求的面积．‎ ‎19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且平面， 为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，E是的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎20、（本小题满分12分）在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表： ‎ 空气质量指数t ‎（0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200）‎ ‎（200，300]‎ ‎（300，+∞）‎ 质量等级 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 严重污染 天数K ‎5‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量（取整数）存在如下关系 且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率； ‎ ‎（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合的曲线为，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且知试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．（附：线性回归方程中，，．）‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点，求的面积。‎ ‎22、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.‎ ‎ ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；‎ ‎②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.‎ 文科数学答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B D C A C A A B D B C 二、填空题：‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）依题意：设等差数列的首项为，公差为，则解得 所以数列的通项公式为 ————4分 ‎（2）由（1）可知 因为，所以 所以 -------------10分 ‎18. 【解析】（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以 -------------6分 ‎（2）解法一：由余弦定理，得，而， ，‎ 得，即因为，所以，‎ 故面积为 ------------12分 解法二：由正弦定理，得 从而又由知，所以 故 ，‎ 所以面积为．‎ ‎19‎ ‎ -------------6分 ‎（Ⅱ）三棱锥的体积． 其中三棱锥的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．又．所以． -----------12分 ‎20.解析：（1）要使某一医院收治此类病症人数超过200人，则t>150,则满足条件的天数共有50天，所以概率为. ------------4分 ‎(2)设 ，则，，，， 所以 ‎，‎ 所以拟合曲线的表达式为。 -----------------------12分 ‎21． 解：‎ ‎（1）依题意： 解得 ，所以抛物线的方程为------4分 ‎（2）依题意：若直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；‎ 所以设直线方程为 联立，消去得 ‎ 所以 又 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，‎ 所以 解得 由，点到直线的距离为 所以。----------------12分 ‎22.试题解析：（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为. -----------4分 ‎（2）①设，则直线的方程为，‎ 令得，因为，因为，‎ 所以，因为在椭圆上，所以，‎ 所以为定值。 -----------8分 ‎②直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，‎ 所以直线过定点. ------------12分