2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅲ卷）（参考答案） 4页

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅲ）‎ 理科数学参考答案 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D B C D B C B A D C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.2 14. 乙 15. 16. ‎ 三、三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由的面积为且为的中点可知：的面积为，‎ 由三角形的面积公式可知，在中 由正弦定理可得，所以．……………………6分 ‎（2），又因为为的中点，所以，即，‎ 在中，由正弦定理可得，所以，‎ 由（1）可知，所以，，‎ ‎，，在直角中，，所以，．‎ ‎，，在中用余弦定理，可得，．……………………………………………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了迎接2019年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；‎ 成绩 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎（2）已知本次质检数学测试的成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该省有10万考生，试估计数学成绩在的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）‎ ‎（3）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 参考数据：若，则， ，.‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：‎ ‎（1）填表如下：‎ 成绩 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ 人数 ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.24‎ ‎0.42‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………2分 ‎（2）依题意，， ‎ 故， ‎ 故，故， 故所求人数为(人). ……………………………………………6分 ‎（3）依题意，任取1人，成绩在的概率为，，‎ ，，，， ，…………………………………10分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎………………………………………………………………………………………………………………11分 故.………………………………………………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱—中，。‎ （1） 求证：平面；‎ ‎( 2 )若D在上，满足，求与平面所成的角的正弦值。‎ ‎【答案】：见解析 ‎【解析】：‎ ‎（1）根据已知条件易得，由面，得 所以平面。 ………………………………………………6分 ‎（2）以A1B1,A1C1为x,y轴建立直角坐标系，设AB=a，‎ 则，，，‎ 所以，设面的法向量为，则 可计算得到 所以与平面所成的角的正弦值为。………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，‎ 又点的纵坐标为8，且，于是，∴，故抛物线的方程为．………4分 ‎（2）设点，，，∵，∴，‎ 切线方程为，即，……………………………………6分 令，可解得，∴，……………………………………8分 又，∴，……………………………………10分 ‎∴．∴．……………………………12分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当，时，对任意，，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为．‎ 当时，，∴．‎ 当时，，∴函数在上单调递增．‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，∴函数在上单调递减；‎ 当时，，∴函数在上单调递增．‎ 综上所述，当，时，函数在上单调递增；‎ 当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．……………6分 ‎（2）∵对任意，，都有成立，‎ ‎∴，∴成立，……………7分 ‎∵，时，，．‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，，……………8分 设，，．‎ ‎∴在递增，∴，∴，可得，‎ ‎∴，即，……………10分 设，，在恒成立．‎ ‎∴在单调递增，且，∴不等式的解集为．‎ ‎∴实数的取值范围为．……………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求，交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1），，∴，∴．‎ 联立方程组得，解得，，‎ ‎∴所求交点的坐标为，．……………5分 ‎（2）设，则．‎ ‎∴的面积 ‎，∴当时，．……………10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知．‎ ‎（1）时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，则或，不等式的解集为．……………5分 ‎（2）的解集包含，即为在上恒成立．‎ ‎，．‎ 故，即为，即．‎ 所以，，‎ 又因为，，则．……………10分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎