【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版5-1平面向量的概念及其线性运算学案 13页

第一节平面向量的概念及其线性运算 ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为的向量；其方向是任意的 记作0‎ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的 单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)‎ ‎0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ 结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λa|＝|λ||a|；‎ 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；　‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝________.‎ 解析：如图，因为在△ABC中，＝c，＝b，且点D满足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝b＋c.‎ 答案：b＋c ‎2．下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，则a＝b；　　　　②若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③若|a|＝|b|，则a∥b; ④若a＝b，则|a|＝|b|.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 答案：④‎ ‎3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ 解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，‎ 则所以λ＝.‎ 答案： ‎1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．‎ ‎2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ ‎3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.‎ 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．‎ 解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.‎ 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，‎ 即a＝λb，且λ＞0，故qp．所以p是q的充分不必要条件．‎ 答案：充分不必要 ‎3．已知向量i与j不共线，且＝i＋m j，＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．(填序号)‎ ‎①m＋n＝1；②m＋n＝－1；③mn＝1；④mn＝－1.‎ 解析：由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.‎ 答案：③‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．给出下列六个命题：‎ ‎① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形；‎ ‎④在平行四边形ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；‎ ‎⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中错误的命题是________．(填序号)‎ 解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．‎ 答案：①②③⑥‎ ‎2．给出以下命题：‎ ‎①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；‎ ‎②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；‎ ‎③若 pa＝pb(p∈R)，则a＝b；‎ ‎④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ 解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b，故③不正确．‎ 答案：①②④‎ ‎[谨记通法]‎ 有关平面向量概念的6个注意点 ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的 单位向量．‎ ‎(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．‎ ‎(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．如图，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. ‎ 解析：由题意，＝，＝，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ 又＝λ＋μ，‎ ‎∴λ＝μ＝，λ＋μ＝.‎ 答案： ‎2．(2019·苏州调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝________.‎ 解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2‎ eq o(OM,sup7(―→))，＋＝2，所以＋＋＋＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．(2019·海门中学检测)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝________(用，表示)．‎ 解析：因为＝－2，‎ 所以＝2.又M是BC的中点，‎ 所以＝(＋)‎ ‎＝(＋＋)‎ ‎＝ ‎＝＋.‎ 答案：＋ ‎ ‎[谨记通法]‎ ‎1．平面向量的线性运算技巧 ‎(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．‎ ‎(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．‎ ‎2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 ‎(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．‎ ‎(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．‎ ‎(3)比较、观察可知所求．‎ 　 ‎[典例引领]‎ 设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．‎ 解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，‎ 所以＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ 所以，共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb同向，‎ 所以存在实数λ(λ＞0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb.所以(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 因为a，b是不共线的两个非零向量，‎ 解得或 又因为λ＞0，所以k＝1.‎ ‎[由题悟法]‎ 共线向量定理的3个应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．(2018·南京第十三中学测试)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．‎ 解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，由AB＝4，得AN＝AM＝3，又因为＋＝，所以(＋)2＝ ||2，所以AD2＝27，AD＝3.‎ 答案：3 ‎2．(2019·天一中学检测)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.‎ ‎(1)试用a，b表示，，；‎ ‎(2)证明：B，E，F三点共线．‎ 解：(1)在△ABC中，∵＝a，＝b，‎ ‎∴＝－＝b－a，‎ ＝＋＝＋ ＝a＋(b－a)＝a＋ b，＝＋＝－＋＝－a＋b.‎ ‎(2)证明：∵＝－a＋b，‎ ＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝(－a＋b)，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴与共线，且有公共点B，‎ ‎∴B，E，F三点共线．‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝________.‎ 解析：根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.‎ 解析：因为＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝.‎ 答案： ‎3．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 解析：由已知，得＝＋，‎ 所以＝－，‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以λ＝1，μ＝－，‎ 则λ＋μ＝.‎ 答案： ‎4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．‎ 解析：如图，因为＝，P是上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.‎ 答案： ‎5．(2019·张家港模拟)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝a，＝b，＝c，若c＝ma＋nb，则m－n＝________.‎ 解析：由向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，‎ 得＝＋＝－3＝－3(CO―→＋)，‎ 即＝＋3－3，‎ 则c＝－a＋b.‎ 又c＝m a＋n b，所以m＝－，n＝，‎ 所以m－n＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎6．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c 共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.‎ 解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ 答案：0‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析：由＋＋＝0得点M是△ABC的重心，可知＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.‎ 答案：3‎ ‎2．(2019·江阴期中)若a，b不共线，且a＋m b与2a－b共线，则实数m的值为________．‎ 解析：∵a＋m b与2a－b共线，‎ ‎∴存在实数k，使得a＋mb＝k(2a－b)＝2ka－kb，‎ 又a，b不共线，‎ ‎∴1＝2k，m＝－k，‎ 解得m＝－.‎ 答案：－ ‎3．下列四个结论：‎ ‎①＋＋＝0； ②＋＋＋＝0；‎ ‎③－＋－＝0；④＋＋－＝0，‎ 其中一定正确的结论个数是________．‎ 解析：①＋＋＝＋＝0，①正确；‎ ‎②＋＋＋＝＋＋＝，②错；‎ ‎③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确 ‎；④＋＋－＝＋＝0，④正确．‎ 故正确的结论个数为3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2018·南汇中学检测)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s＝________.‎ 解析：如图，因为＝2，所以＝.‎ 又因为＝－，‎ 所以＝－.‎ 又＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.‎ 答案：0‎ ‎5．(2018·海安中学检测)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ 答案：a＋b ‎6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________．‎ 解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，‎ 所以＝(＋)＝＋＝－＋－＝ －，‎ 又＝m＋n，‎ 所以m＝，n＝－，‎ 故m＋n＝－＝－.‎ 答案：－ ‎7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝ |－|，则||＝________.‎ 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，‎ 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，‎ 因此，||＝||＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．(2019·启东期中)在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足＝，＝＋，则＝________.‎ 解析：如图，∵＝，＝＋，＝＋， ‎ ‎∴AD＝AB，DM＝BC，且DM∥BC，‎ ‎∴＝×＝. ‎ 答案： ‎9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把分成2∶1的一个三等分点，DC交OA于点E，设＝a，＝b.‎ ‎(1)用a和b表示向量，；‎ ‎(2)若＝λ，求实数λ的值．‎ 解：(1)依题意，A是BC的中点，‎ 所以2＝＋，‎ 即＝2－＝2a－b，‎ ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.‎ ‎(2)若＝λ，‎ 则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.‎ 因为与共线．‎ 所以存在实数k，使＝k.‎ 即(λ－2)a＋b＝k，‎ 因为a，b是不共线的两个非零向量，‎ 所以解得 ‎10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝ 2e1－e2.‎ ‎(1)求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ 因为＝2e1－8e2，‎ 所以＝2.‎ 又因为与有公共点B，‎ 所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)由(1)可知＝e1－4e2，‎ 因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，‎ 所以＝λ (λ∈R)，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ 得 解得k＝12.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若＝x＋y，则x＋y的取值范围是________．‎ 解析：由于A，B，D三点共线，设＝α，则＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C 在圆上，与方向相反，则存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)·＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1. ‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，‎ 所以A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎