江苏省海安中学2020届高三上学期阶段测试三数学试题 19页

海安中学2020届高三阶段测试三 数 学 试 卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．设全集，2，3，4，，若，2，，则集合　　．‎ 解：全集，2，3，4，，‎ 若，2，，‎ 则集合，．‎ 故答案为：，．‎ ‎2．已知复数满足为虚数单位），则的模为　　．‎ 解：复数满足为虚数单位），‎ ‎，，‎ 故答案为：．‎ ‎3．已知一组数据的平均数为，极差为，方差为，则数据，，，的方差为_____.‎ 故答案为：‎ ‎4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为　　．‎ 解：模拟执行伪代码，可得：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为　　．‎ 解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有种；‎ 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有种；‎ 故共有种．‎ 故答案为：30．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为　　．‎ 解：因为，所以，所以渐近线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎7．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为　　．‎ 解：由将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，‎ 可得把函数的图象向左平移个单位后得函数的图象，‎ 故，则，‎ 故答案为：4．‎ ‎8．设定义在上的奇函数在区间，上是单调减函数，且（2），则实数的取值范围是　　．‎ 解：根据题意，是在上的奇函数，且在区间，上是单调减函数，‎ 则其在区间上递减，‎ 则函数在上为减函数，‎ ‎（2）（2），‎ 解可得：；‎ 即实数的取值范围是；‎ 故答案为：．‎ ‎9．在锐角三角形中，，，则的值为　　．‎ 解：锐角三角形中，，，，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 则，‎ 故答案为：79．‎ ‎10．设为数列的前项和，若，且，则的值为　　．‎ 解：由，，可得．‎ 解法1：当时，由，得，‎ ‎，即，‎ 数列是首项，公差为6的等差数列，‎ ‎．‎ 解法2：当时，由，‎ 可得，‎ ‎，‎ 数列是首项，公差为3的等差数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎11.设正实数，满足，则实数的最小值为　　．‎ 解：由正实数，满足，‎ 化为，‎ ‎，化为，‎ 解得．‎ 因此实数的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎12．如图，正四棱柱的体积为27，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为　　．‎ 解：连接，‎ 正四棱柱的体积为27，‎ 点，分别为棱，上的点（异于端点），且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 四棱锥的体积．‎ 故答案为：9．‎ ‎13．已知向量，，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为　　．‎ 解：可设，，，‎ 由题意可得，，‎ 则，‎ 即为，‎ 又，为锐角，，，‎ 可得，‎ 同理可得，‎ 由正弦定理可得，‎ 即有，，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎14．已知，，若同时满足条件：‎ ‎①，或；‎ ‎②，．‎ 则的取值范围是　　．‎ 解：对于①，当时，，‎ 又①，或 在时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面 则 即①成立的范围为 又②，‎ 此时恒成立 在有成立的可能，则只要比，中的较小的根大即可，‎ 当时，较小的根为，不成立，‎ 当时，两个根同为，不成立，‎ 当时，较小的根为，即成立．‎ 综上可得①②成立时．‎ 故答案为：．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知的面积为，且，向量和向量是共线向量．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求的边长．‎ 解：（1），，即，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎（2）由得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥的底面为矩形，且，，，分别为，中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求证：平面平面．‎ 证明：（1）方法一：取线段的中点，连接，．‎ 因为为的中点，所以，且．‎ 因为四边形为矩形，为的中点，‎ 所以，且．‎ 所以，且．‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以． ‎ 又平面，平面，所以平面． ‎ 方法二：连接并延长交的延长线于，连接．‎ 因为四边形为矩形，所以，‎ 所以，．‎ 又，所以．所以．‎ 又为的中点，所以．（5分）‎ 又平面，平面，所以平面． ‎ 方法三：取的中点，连接，．‎ 在矩形中，为的中点，所以，且．‎ 所以四边形为平行四边形，所以．‎ 又平面，平面，所以平面． ‎ 因为，分别为，的中点，所以．‎ 又平面，平面，所以平面．‎ 又，平面，，所以平面平面． ‎ 因为平面，所以平面． ‎ ‎（2）设，相交于．‎ 在矩形中，因为，为的中点．所以．‎ 又，所以，所以．‎ 又，所以．‎ 由的内角和为，得．即． ‎ 因为平面平面 因为平面，所以平面， ‎ 又平面，所以平面平面． ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，，是两条海岸线，为海中一个小岛，为海岸线上的一个码头．已知，，到海岸线，的距离分别为，．现要在海岸线上再建一个码头，使得在水上旅游直线经过小岛．‎ ‎（1）求水上旅游线的长；‎ ‎（2）若小岛正北方向距离小岛处的海中有一个圆形强水波，从水波生成时的半径为为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以的速度自码头开往码头，问实数在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．‎ 解：（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示．‎ 则由题设得：，直线 的方程为，，．‎ 由，及 得，．‎ 直线 的方程为，即，‎ 由 得 即，‎ ‎，‎ 即水上旅游线 的长为．‎ ‎（2）设试验产生的强水波圆，‎ 由题意可得，生成 小时时，游轮在线段 上的点 处，则 ‎，，．‎ 强水波不会波及游轮的航行即．‎ ‎，‎ 当 时，上式恒成立，‎ 当，，‎ ‎，当且仅当 时等号成立，‎ 所以，在 时 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其左、右焦点分别为、，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、分别为椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于点．‎ 求证：为定值；‎ 设与以为直径的圆的另一交点为，问：直线是否过定点，并说明理由．‎ 解：（1）由题意可得且，‎ 解得，，‎ 即有椭圆方程为；‎ ‎（2）证明：由，，，‎ 设，，，‎ 可得，‎ 代入椭圆方程可得，，‎ 由，可得，‎ ‎，‎ 则为定值；‎ 直线过定点．‎ 理由如下：由题意可得，‎ 由与以为直径的圆的另一交点为，‎ 可得，即有．‎ 则直线，‎ 即，‎ 故直线过定点．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列满足：（常数，．数列满足：．‎ ‎（1）求，，，的值；‎ ‎（2）求出数列的通项公式；‎ ‎（3）问：数列的每一项能否均为整数？若能，求出的所有可能值；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）由已知可知：，，．‎ 把数列的项代入，求得，；‎ ‎（2）由，可知：．①‎ 则：．②‎ ‎①②有：，即：‎ ‎，．‎ ‎；‎ ‎（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数，‎ 则由（2）可知：，③‎ 由，，可知，2．‎ 当时，为整数，利用，，，结合③式，可知的每一项均为整数；‎ 当时，③变为，④‎ 用数学归纳法证明为偶数，为整数．‎ 时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，‎ 故为偶数，为整数，时，命题成立．‎ 故数列是整数列．‎ 综上所述，为1，2时，数列是整数列．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，．‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，试判断函数在区间，内的极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（3）求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，．‎ 解：（1）当时，，，‎ 令，，列表分析 ‎1‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 故的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2），，其中，‎ 令，分析的零点情况．，令，，列表分析 ‎，‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 ‎，‎ 而，，，‎ ‎①若，则，‎ 故在，内没有极值点；‎ ‎②若，则，，，‎ 因此在，有两个零点，在，内有两个极值点；‎ ‎③若，则，，，‎ 因此在，有一个零点，在，内有一个极值点；‎ 综上所述，当，时，在，内没有极值点；‎ 当，时，在，内有两个极值点；‎ 当，时，在，内有一个极值点．‎ ‎（3）猜想：，恒成立．‎ 证明如下：‎ 由（2）得在，上单调递增，且（1），．‎ 因为当时，，所以．‎ 故在上存在唯一的零点，设为． 由 ‎，‎ ‎’ ‎ ‎0‎ 单调递减 单调递增 知，，（1），．‎ 又，而时，，‎ 所以（1）．‎ 即，．‎ 所以对任意的正数，都存在实数，使对任意的，使．‎ 补充证明 令，．，‎ 所以在，上单调递增．‎ 所以时，（1），即．‎ 补充证明 令，．，‎ 所以在，上单调递减．‎ 所以时，（1），即．‎ 海安中学2020届高三阶段测试三 数学附加题 ‎21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]‎ A.已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为．求矩阵．‎ 解：由特征值、特征向量定义可知，，‎ 即，得 ‎ 同理可得 解得，，，．‎ 因此矩阵． ‎ B．在极坐标系中，已知 1， ， 9， ，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．‎ 解：由题意，线段的中点坐标为，‎ 设点为直线上任意一点，‎ 在直角三角形中，，‎ 所以，的极坐标方程为， ‎ 令，得，即．（8分）‎ 所以，的面积为：．‎ ‎22．已知实数，满足，求证：．‎ 证明：由，可得，‎ ‎，‎ 要证，‎ 即证，‎ 由于，‎ 即证，‎ 即为，显然成立．‎ 故原不等式成立．‎ ‎23．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2．若，且向量与夹角的余弦值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系；‎ 则：，0，，，0，，，2，，，0，；，‎ 可得，2，．‎ ‎（1），2，，，2，，向量与夹角的余弦值为．‎ 可得，解得（舍去）或．‎ 实数的值为2．；‎ ‎（2），2，，，2，，平面的法向量，，．‎ 则且，即：，，，不妨去，‎ 平面的法向量，1，．又，0，．‎ 故．‎ 直线与平面所成角的正弦值为：．‎ ‎24．已知数列的通项公式为，．记．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求所有正整数，使得能被8整除．‎ 解：（1）‎ ‎，‎ 即有；‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 即，，‎ 因此除以8的余数，完全由，除以8的余数确定，‎ 因为，，‎ 所以，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 由以上计算及可知，数列各项除以8的余数依次是：‎ ‎1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，，‎ 它是一个以6为周期的数列，从而除以8的余数等价于除以3的余数，‎ 所以，，‎ 即所求集合为：，．‎