高一数学教案第7讲：任意角三角比 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 任意角三角比 教学内容 ‎1. 掌握角的概念推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示。‎ ‎2. 掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式。‎ 一. 角概念的推广 ‎1. 初中都学过的角有 、直角、 、 、周角。‎ ‎2. 初中是如何定义角的？‎ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。‎ ‎3. 初中学习的角的范围都是，生活中很多实例会不在改范围 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？‎ 这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？‎ 此部分检测学生的预习情况，第三个问题看看学生有什么想法没有，没有就可以直接引入下面的内容。‎ ‎4. 角的概念的推广 ‎⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．‎ 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”‎ ‎⑵．“正角”与“负角”“0角”‎ 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， ‎ ‎ ‎ 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成。‎ ‎⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。‎ ‎1° 角有正负之分 如：a=210° b=-150° g=660° ‎2° 角可以任意大 ‎ 实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）‎ ‎3° 还有零角 一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．‎ ‎5. “象限角”‎ 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）‎ ‎6．终边相同的角 ‎ ‎⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同 ‎⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和：‎ ‎ 390°=30°+360° ‎ ‎ -330°=30°-360° ‎ ‎ 30°=30°+0×360° ‎ ‎ 1470°=30°+4×360° ‎ ‎ -1770°=30°-5×360° ‎ ‎⑶结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：‎ ‎ ‎ 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。‎ ‎⑷注意以下四点：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) a是任意角；‎ ‎(3)与a之间是“+”号，‎ 如-30°，应看成+(-30°)；‎ ‎(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．‎ 练习：在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 ‎。‎ 解：⑴∵-120º=-360º+240º，‎ ‎∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角．‎ ‎⑵∵640º=360º+280º，‎ ‎∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．‎ ‎⑶∵-950º12’=-3×360º+129º48’，‎ ‎∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．‎ 此部分是新课部分，教师讲解要尽量详细，每讲一个部分可以适当问问学生是否有疑问 二、弧度制 ‎ (1)角度制：将圆周分为360份，每一份所对的圆心角叫1度的角 弧度制的概念：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 ‎(2)换算关系:‎ ‎（弧度） ‎ 计算公式：角的计算公式（单位为弧度）‎ 设圆心角所在的圆的半径为，所对的劣弧长为，则，其中角的正负由角的旋转方向决定。‎ ‎(3)弧长公式: 扇形面积公式: ‎ 此部分是新课部分，教师讲解转换的时候可以借助圆和半圆，让学生适应弧度制表示角 ‎ 三、三角比的定义 设角a是一个任意角，将角a置于平面直角坐标系中，‎ 角a的顶点与原点O重合，a的始边与x轴的正半轴重合，‎ 在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,‎ 有点P到原点的距离 ‎ 则我们规定：‎ ‎ ‎ 教师可以结合这个图像讲解，同时强调其它象限角也一样 练习：已知角a的终边经过点P（-3，4），求角a的六个三角比的值。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 写出角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来 ‎ 解：‎ S中在-360°～720间的角是 ‎-1×360°+60°=-280°；‎ ‎0×360°+60°=60°；‎ ‎1×360°+60°=420°．‎ 试一试：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：‎ ‎（1） （2）。‎ ‎(1) ‎ S中在-360°～720间的角是 ‎0×360°-21°=-21°；‎ ‎1×360°-21°=339°；‎ ‎2×360°-21°=699°．‎ ‎(2) ‎ S中在-360°～720°间的角是 ‎-2×360°+363º14’=-356º46’；‎ ‎-1×360°+363º14’=3º14’；‎ ‎0×360°+363º14’=363º14’．‎ 例2.（1）把化成弧度 （2）把化成度 解： 解：‎ ‎∴ ‎ 教师总结： ‎ ‎ 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦；‎ ‎ 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：‎ 角度 ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎135°‎ ‎150°‎ ‎180°‎ 弧度 ‎0‎ π/6‎ π/4‎ π/3‎ π/2‎ ‎2π/3‎ ‎3π/4‎ ‎5π/6‎ π 角度 ‎210°‎ ‎225°‎ ‎240°‎ ‎270°‎ ‎300°‎ ‎315°‎ ‎330°‎ ‎360°‎ 弧度 ‎7π/6‎ ‎5π/4‎ ‎4π/3‎ ‎3π/2‎ ‎5π/3‎ ‎7π/4‎ ‎11π/6‎ ‎2π 试一试：（1）将157°30′化为弧度；（2）将化为角度。‎ 答案：；-105°‎ 例3. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ 答案：B 讲解时注意学生对公式的应用，适当强调今后的扇形弧长和面积公式用弧度去做简便 试一试：一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是 ( )‎ 答案：D 例4. 已知角a的终边经过点P（2a，-3a）(a≠0)，求sina-cosa的值。‎ 答案：‎ 试一试：已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值 答案：‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1、若是第四象限角，则是（ ）‎ A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 ‎2、若α＝－3，则角α的终边在 ( )‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎3、在半径为‎2米的圆中，120的圆心角所对的弧长为__________________‎ ‎4、一个扇形OAB的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______‎ ‎5、求值：‎ 附加题：已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R。‎ (1) 若α=60°，R=‎10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；‎ (2) 若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 答案：C、C、 米、 2、 2‎ 附加题：解（1）‎ ‎ （2）∵扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴ ，‎ ‎ ∴‎ ‎∴当且仅当 ，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值 。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：角概念的推广，注意象限角和终边相同角的表示，弧度制，三角比的定义。‎ ‎1. 下列各命题中正确的是（ ）‎ ‎ A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 ‎2. 在直角坐标系中，若角与的终边互相垂直，那么角与角的关系为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3. 下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 ‎ B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 ‎ D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 ‎4. 某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）‎ ‎ A．2° B．‎2 ‎C．4° D．4‎ ‎5. 找出与435°终边相同的最小正角，并判断它在第几象限 ‎6. 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 ‎ ‎7. 已知是第二象限角，且则的范围是 .‎ 答案：1、 C； 2、D； 3、 D； 4、 B； 5、 75°它是第一象限角； 6、一、7-2π； 7、‎ 通过对三角比的定义的学习，试证明下面的关系 ‎（1）倒数关系： （2）商数关系： （3）平方关系：‎ ‎2. 你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？‎