数学文·江西省抚州市崇仁二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（文科）+Word版含解析x 17页

‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）‎ A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 ‎2．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（　　）‎ A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题 C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题 ‎3．下列命题中，真命题的是（　　）‎ A．∃x0∈R，使得 B．命题∀x∈R，2x＞x2的否定是真命题 C．{x|x﹣1＜0}∩{x|x2﹣4＞0}=（﹣2，0）‎ D．a＞1，b＞1的充分不必要条件是ab＞1‎ ‎4．如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（　　）‎ A．n≤2？ B．n≤3？ C．n≤4？ D．n≤5？‎ ‎5．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）‎ A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 ‎6．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11‎ ‎8．若b，c∈[﹣1，1]，则方程x2+2bx+c2=0有实数根的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　　人．‎ ‎14．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是　　；众数是　　．‎ ‎15．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎16．下列命题正确的序号是　　‎ ‎①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；‎ ‎②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；‎ ‎③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；‎ ‎④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎（2）计算甲班的样本方差；‎ ‎（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎18．命题p：方程x2﹣x+a2﹣6a=0，有一正根和一负根．命题q：函数y=x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？‎ ‎（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；‎ ‎（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．‎ ‎20．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎21．已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎22．已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A1，A2，P1是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P2 是点P1关于x轴的对称点，直线A1P1与A2P2相交于点E．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）求点E的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（　　）‎ A．3个都是正品 B．至少有1个是次品 C．3个都是次品 D．至少有1个是正品 ‎【考点】随机事件．‎ ‎【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，‎ 故选D ‎　‎ ‎2．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（　　）‎ A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题 C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】¬（p或q）为假命题 既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．‎ ‎【解答】解：¬（p或q）为假命题，‎ 则p或q为真命题 所以p，q至少有一个为真命题．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题中，真命题的是（　　）‎ A．∃x0∈R，使得 B．命题∀x∈R，2x＞x2的否定是真命题 C．{x|x﹣1＜0}∩{x|x2﹣4＞0}=（﹣2，0）‎ D．a＞1，b＞1的充分不必要条件是ab＞1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据指数函数的值域，可判断A；判断原命题的真假，可判断B；求出两集合的交集，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．‎ ‎【解答】解：ex＞0恒成立，故A，∃x0∈R，使得为假命题；‎ 命题∀x∈R，2x＞x2是假命题；命题∀x∈R，2x＞x2的否定是真命题，故B是真命题，‎ ‎{x|x﹣1＜0}∩{x|x2﹣4＞0}=（﹣∞，﹣2），故C为假命题；‎ a＞1，b＞1⇒ab＞1为真，ab＞1⇒a＞1，b＞1为假，‎ 故a＞1，b＞1的必要不充分条件是ab＞1‎ 故D为假命题；‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（　　）‎ A．n≤2？ B．n≤3？ C．n≤4？ D．n≤5？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．‎ ‎【解答】解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环；‎ 第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环；‎ 第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环；‎ 第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（　　）‎ A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，‎ 而xn+1为世界首富的年收入 则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，‎ 故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，‎ 但中位数可能不变，也可能稍微变大，‎ 但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B ‎　‎ ‎6．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，‎ 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，‎ 第三个数为08，符合条件，‎ 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，‎ 故第5个数为01．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．‎ ‎【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；‎ 判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；‎ 判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；‎ 此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．‎ 若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．若b，c∈[﹣1，1]，则方程x2+2bx+c2=0有实数根的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】设方程x2+2bx+c2=0有实根为事件A．D={（b，c）|﹣1≤b≤1，﹣1≤c≤1}，所以SD=2×2=4，方程有实根对应区域为d={（b，c）|b2≥c2}，S=4﹣=2，由此可得方程有实根的概率．‎ ‎【解答】解：设方程x2+2bx+c2=0有实根为事件A．D={（b，c）|﹣1≤b≤1，﹣1≤c≤1}，所以SD=2×2=4，‎ 方程有实根对应区域为d={（b，c）|b2≥c2}，S=4﹣=2‎ 所以方程有实根的概率P（A）=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，‎ 射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，‎ ‎∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，‎ ‎∴至少有两次击中目标的概率为C320.62×0.4+C330.63==‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．设P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，△PF1F2为直角三角形，设|PF1|=m，|PF2|=n，可求得m，n与c的关系，从而可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°，‎ ‎∴，△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2=90°，‎ 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，‎ 则n=2csin75°，m=2csin15°，‎ 又|PF1|+|PF2|=m+n=2a ‎∴2csin15°+2csin75°=2a，‎ ‎∴e===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），‎ 则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．‎ 在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°=﹣=，‎ 解得x12=．‎ ‎∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1‎ ‎∴e=≥．‎ 故椭圆离心率的取范围是 e∈．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．‎ ‎【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），‎ 即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图 依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，‎ 因为是下半圆故可知（舍），故 当直线过（0，3）时，解得b=3，‎ 故，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　25　人．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．‎ ‎【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人 按分层抽样应抽出人 故答案为：25‎ ‎　‎ ‎14．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是　23　；众数是　23　．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】先有茎叶图找出数据从小到大排，中间两个数，求出它们的平均值即为中位数；找出出现次数最多的数即为众数．‎ ‎【解答】解：将比赛中的得分按照从小到大的顺序排，中间两个数为23，23，‎ 所以这组数据的中位数是23，‎ 所有的数据中出现次数最多的数是23‎ 故答案为23；23‎ ‎　‎ ‎15．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为　a≤﹣2或a=1　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵“p且q”是真命题，‎ ‎∴命题p、q均为真命题，‎ 由于∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，‎ ‎∴a≤1；‎ 又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，‎ ‎∴△=4a2+4a﹣8≥0，‎ 即（a﹣1）（a+2）≥0，‎ ‎∴a≤﹣2或a≥1，‎ 综上可知，a≤﹣2或a=1．‎ 故答案为：a≤﹣2或a=1‎ ‎　‎ ‎16．下列命题正确的序号是　①③　‎ ‎①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；‎ ‎②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；‎ ‎③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；‎ ‎④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据指数函数的性质判断即可；②写出p的否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．‎ ‎【解答】解：①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b”是真命题，故①正确；‎ ‎②若命题p：“＞0”，则；￢p：“＜0”，故②错误；‎ ‎③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；‎ ‎④方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误；‎ 故答案为：①③．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎（2）计算甲班的样本方差；‎ ‎（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，可得乙班平均身高较高．‎ ‎（2）先求出甲班的平均身高，再利用样本方差公式计算求得结果．‎ ‎（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件一一列举共10个，而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，由此求得身高为176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，‎ 因此乙班平均身高高于甲班．‎ ‎（2）甲班的平均身高为 ==170，‎ 故甲班的样本方差为 [2+2+2+2+2‎ ‎+2+2+2+2+2]‎ ‎=57．‎ ‎（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件有：‎ ‎、、、、、、‎ ‎、、、，共有10个．‎ 而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，‎ 故身高为176cm的同学被抽中的概率等于=．‎ ‎　‎ ‎18．命题p：方程x2﹣x+a2﹣6a=0，有一正根和一负根．命题q：函数y=x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由题意可得p：可求p ‎△=（a﹣3）2﹣4=（a﹣1）（a﹣5）＜0可求q 由p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q中一真一假，分类讨论求解 ‎【解答】解：由题意可得p：‎ ‎∴p：0＜a＜6‎ q：△=（a﹣3）2﹣4=（a﹣1）（a﹣5）＜0‎ ‎∴1＜a＜5‎ ‎∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ ‎∴p，q中一真一假 当p真q假时即0＜a≤1或5≤a＜6‎ 当p假q真时，，此时a不存在 故0＜a≤1或5≤a＜6‎ ‎　‎ ‎19．2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？‎ ‎（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；‎ ‎（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；收集数据的方法；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（I）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；‎ ‎（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；‎ ‎（III）利用直方图求出样本中车速在[90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，‎ ‎∴a=0.06，‎ 该抽样方法是系统抽样；‎ ‎（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；‎ ‎∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，‎ 第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，‎ ‎∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，‎ ‎∴数据的中位数为77.9；‎ ‎（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），‎ ‎∴估计该路段车辆超速的概率P==．‎ ‎　‎ ‎20．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．‎ ‎（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B1，C1不全被选中”的对立事件“B1，C1全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，‎ 其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，‎ 因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}‎ 事件M由6个基本事件组成，因而．‎ ‎（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，‎ 由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．‎ ‎【解答】解：设椭圆C的方程为+=1，‎ 由题意a=3，c=2，‎ b==1．‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ 联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，‎ 因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ 故线段AB的中点坐标为（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A1，A2，P1是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P2 是点P1关于x轴的对称点，直线A1P1与A2P2相交于点E．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）求点E的轨迹方程．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先确定焦点坐标，再利用椭圆（a＞b＞0）经过点M（），即可求椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）利用参数法求点E的轨迹方程．求出A1P1的方程、A2P2的方程，再利用点P1（x1，y1）在椭圆上，即可求得点E（x，y）的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，2c=2得c=1，…，F1（﹣1，0），F2（1，0）‎ ‎∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（），‎ ‎∴|MF1|+|MF2|=2a，∴a=3…，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=8‎ ‎∴所求椭圆标准方程为… ‎ ‎（Ⅱ）A1（﹣3，0），A2（3，0），设P1（x1，y1），P2（x2，﹣y2），（x1≠0，|x1|＜3）‎ A1P1的方程：…①，A2P2的方程：…②…‎ ‎①×②得…③，‎ 因为点P1（x1，y1）在椭圆上，‎ 所以即代入③得，‎ 又P1（x1，y1），P2（x2，﹣y2）是椭圆上非顶点，知x≠±3，所以点E（x，y）的轨迹方程（x≠±3）‎ ‎　‎ ‎2016年11月20日