数学卷·2018届浙江省湖州市高二上学期期中数学试卷 （解析版） 17页

‎2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（　　）‎ A．4 B．5 C．8 D．10‎ ‎2．已知向量，则与的夹角为（　　）‎ A．0° B．45° C．90° D．180°‎ ‎3．圆 C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 ‎4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，“点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎6．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]‎ ‎7．在平面直角坐标系中，方程+|x﹣y|=1所表示的曲线为（　　）‎ A．三角形 B．正方形 C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形 ‎8．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，则x=　　；若∥，则x+y=　　．‎ ‎10．已知圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0，直线l过点P（﹣3，0），圆M的圆心坐标是　　；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是　　．‎ ‎11．已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为　　，若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则∠MFO=　　．‎ ‎12．过点（1，3）且渐近线为y=±x的双曲线方程是　　，其实轴长是　　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为　　．‎ ‎14．已知斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K1，K2，则K1+K2的取值范围是　　．‎ ‎15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的点），且满足|PB|+|PD1|=2，则点P的个数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”，它的否命题为Q．‎ ‎（Ⅰ）写出命题Q；‎ ‎（Ⅱ）判断命题Q的真假，并证明你的结论．‎ ‎17．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）‎ 求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．‎ ‎18．已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x﹣y=0被圆C截得的弦长为2‎ ‎（1）求圆C标准方程；‎ ‎（2）若点Q在直线l1：x+y+1=0上，经过点Q直线l2与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；‎ ‎（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°．若存在，求出PM的长，不存在请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆E：，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求a，b，k的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若离心率且，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（　　）‎ A．4 B．5 C．8 D．10‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量，则与的夹角为（　　）‎ A．0° B．45° C．90° D．180°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得， 0°≤θ≤180°可得θ=90°‎ ‎【解答】解：设则与的夹角为θ 由向量夹角的定义可得，‎ ‎∵0°≤θ≤180°‎ ‎∴θ=90°‎ 故选C ‎　‎ ‎3．圆 C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由条件求得两圆的圆心距 C1 C2 =5，大于半径之差而小于半径之和，从而得到两个圆相交．‎ ‎【解答】解：两个圆的圆心分别为 C1（﹣2，2）、C2：（2，5），半径分别为2、4，‎ 两圆的圆心距 C1 C2 ==5，大于半径之差而小于半径之和，‎ 故两个圆相交，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，‎ 则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，‎ ‎∵三角形B1AC为等边三角形，‎ ‎∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，‎ ‎∴cos∠B1AC=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．在平面直角坐标系中，“点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】点M的坐标满足方程4+y=0可得：点M在曲线y2=16x上；反之不成立，例如取x=4，y=8．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：点M的坐标满足方程4+y=0，化为：y2=16x，（y≤0），‎ ‎∴点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线即 （x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+2，b=1﹣2．结合图象可得b的范围．‎ ‎【解答】解：如图所示：曲线y=33﹣，‎ 即 （x﹣2）2+（y﹣3）2=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），‎ 表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．‎ 由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，‎ 可得=2，‎ ‎∴b=1+2，或b=1﹣2．‎ 结合图象可得1﹣2≤b≤3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．在平面直角坐标系中，方程+|x﹣y|=1所表示的曲线为（　　）‎ A．三角形 B．正方形 C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形 ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】利用绝对值的几何意义，分类讨论方程，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：利用绝对值的几何意义，分类讨论方程可得，‎ 当x+y≥0，x﹣y≥0时， x﹣y=1；‎ 当x+y≤0，x﹣y≤0时， x﹣y=﹣1；‎ 当x+y≥0，x﹣y≤0时， y+x=1；‎ 当x+y≤0，x﹣y≥0时， y+x=﹣1．‎ ‎∴方程+|x﹣y|=1所代表的曲线是非正方形的菱形．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有==，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，‎ 由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，‎ 可得△BAF2∽△BF2F1，‎ 即有==，‎ 即为==，‎ ‎==e＞1，‎ 可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，‎ 又BA＞2a，‎ 即BF2＞2a，‎ BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，‎ 可得2a＜c﹣a，即c＞3a，‎ 即有e=＞3．‎ 当AF1与x轴重合，即有=，‎ e=，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+，‎ 即有3＜e＜2+．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，则x=　±4　；若∥，则x+y=　6　．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】由已知结合||=6， =6，由此能求出x；由已知结合∥，得，由此能求出x+y．‎ ‎【解答】解：∵向量=（2，4，x），=（2，y，2），‎ ‎||=6，‎ ‎∴=6，‎ 解得x=±4；‎ ‎∵∥，∴，‎ 解得x=4，y=2，‎ ‎∴x+y=6．‎ 故答案为：±4，6．‎ ‎　‎ ‎10．已知圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0，直线l过点P（﹣3，0），圆M的圆心坐标是　（﹣2，1）　；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是　﹣3　．‎ ‎【考点】圆的切线方程；圆的一般方程．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=2，‎ 则圆心坐标为（﹣2，1），半径R=，‎ 设切线斜率为k，‎ 过P的切线方程为y=k（x+3），‎ 即kx﹣y+3k=0，‎ 则圆心到直线的距离d==，‎ 平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，‎ 解得k=﹣1，‎ 此时切线方程为y=﹣x﹣3，‎ 即在y轴上的截距为﹣3，‎ 故答案为：（﹣2，1），﹣3．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为　（0，1）　，若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则∠MFO=　或　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的方程与定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，且p=1，焦点坐标为（0，1）；‎ ‎∵M是抛物线上一点，|MF|=4，‎ ‎∴M（±2，3），‎ M（2，3），kMF==，∴∠MFO=‎ M（﹣2，3），kMF=﹣=﹣，∴∠MFO=‎ 故答案为：（0，1），或．‎ ‎　‎ ‎12．过点（1，3）且渐近线为y=±x的双曲线方程是　﹣=1　，其实轴长是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：根据双曲线的性质可设双曲线的方程为：，（λ≠0），将（1，3）即可求得λ的值，求得双曲线的方程；则求得焦点在y轴上，则 实轴长2a=．‎ ‎【解答】解：由题意可知：设双曲线的方程为：，（λ≠0），‎ 则将（1，3）代入﹣9=λ，解得：λ=，‎ ‎∴双曲线的方程：﹣=1，‎ 由双曲线方程可知：焦点在y轴上，a2=，则a=，‎ 则实轴长2a=，‎ 故答案为：﹣=1，．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，‎ 因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，‎ 在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，‎ 根据题意，OA=OM=2，‎ 所以， =，‎ 所以sin∠OCM=，tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角），‎ 而∠OCM与∠OAM互补，‎ 所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K1，K2，则K1+K2的取值范围是　（4，+∞）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直线方程为y=x+b，即x=y﹣b，代入抛物线y2=2px，可得y2﹣2py+2pb=0，由△=4p2﹣8pb＞0，求得p＞2b，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求出K1+K2的取值范围．‎ ‎【解答】解：设直线方程为y=x+b，即x=y﹣b，‎ ‎，整理得y2﹣2py+2pb=0，‎ ‎△=4p2﹣8pb＞0，‎ ‎∵p＞0，‎ 解得：p＞2b 设A（x1，y1），B（x2，y2），得y1+y2=2p，y1y2=2pb，‎ K1+K2=+=====＞4．‎ ‎∴K1+K2的取值范围为：（4，+∞），‎ 故答案为：（4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的点），且满足|PB|+|PD1|=2，则点P的个数为　6　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】P应是椭圆与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，‎ ‎∴AC1=，‎ ‎∵|PA|+|PC1|=2，‎ ‎∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，‎ ‎∵P在正方体的棱上，‎ ‎∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，‎ 结合正方体的性质可知，‎ 满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”，它的否命题为Q．‎ ‎（Ⅰ）写出命题Q；‎ ‎（Ⅱ）判断命题Q的真假，并证明你的结论．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 命题p的否命题为：若∴ac＜0，则二次方程ax2+bx+c=0有实根．‎ ‎（Ⅱ） 命题p的否命题是真命题．由△=b2﹣4ac＞0二次方程ax2+bx+c=0有实根．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 命题p的否命题为：“若∴ac＜0，则二次方程ax2+bx+c=0有实根”．‎ ‎（Ⅱ） 命题p的否命题是真命题．证明如下 ‎∵ac＜0⇒﹣ac＞0⇒△=b2﹣4ac＞0二次方程ax2+bx+c=0有实根．‎ ‎∴该命题是真命题．‎ ‎　‎ ‎17．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）‎ 求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．‎ ‎【考点】平面向量的综合题．‎ ‎【分析】（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）‎ ‎∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）‎ ‎∵||=||=||=‎ ‎∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7‎ ‎（2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，‎ ‎∴‎ 解得x=y=z=±1‎ ‎=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）‎ ‎　‎ ‎18．已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x﹣y=0被圆C截得的弦长为2‎ ‎（1）求圆C标准方程；‎ ‎（2）若点Q在直线l1：x+y+1=0上，经过点Q直线l2与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设圆心坐标为 （a，3a），且a＞0，求出圆心（a，3a）到直线x﹣y=0的距离，利用勾股定理，求出圆心与半径，即可求圆C标准方程；‎ ‎（2）在Rt△QPC中，|QP|=，所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值．‎ ‎【解答】解：（1）因为圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，‎ 设圆心坐标为 （a，3a），且a＞0，‎ 圆心（a，3a）到直线x﹣y=0的距离为 又圆C与x轴相切，所以半径r=3a 设弦AB的中点为M，则|AM|=‎ 在RtAMC中，得 解得a=1，r2=9‎ 故所求的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=9 …‎ ‎（2）如图，在Rt△QPC中，|QP|=，‎ 所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值；‎ 所以QC⊥l1于Q点时，|QC|min==‎ 所以，|QP|min= …..‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；‎ ‎（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°．若存在，求出PM的长，不存在请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF，推导出FO∥PA，由此能证明PA∥平面FBD．‎ ‎（Ⅱ） 法一：（先猜后证）点M为PC的中点，即为点F，连接EO，AC⊥BD，BD⊥EO，BD⊥FO，从而∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角，由此能求出PM=1．法二：（向量方法探索）以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF，‎ ‎∵O、F分别是AC、PC的中点，‎ ‎∴FO∥PA…‎ ‎∵PA不在平面FBD内，‎ ‎∴PA∥平面FBD…‎ 解：（Ⅱ） 解法一：（先猜后证）点M为PC的中点，即为点F，…‎ 连接EO，∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，则BD⊥EO，BD⊥FO，‎ ‎∴∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角．…‎ 连接EF，则EF∥AC，∴EF⊥FO，‎ ‎∵EF==，‎ 在Rt△OFE中，tan∠EOF==，‎ 故，∴PM=1．…‎ 解法二：（向量方法探索）‎ 以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OA，OB，OF为x，y，z轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz，由题意可知各点坐标如下：‎ O（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），D（0，，0），P（，0，1），E（，0，），…‎ 设平面EBD的法向量为=（x，y，z），‎ ‎∵=（0，1，0），=（，），‎ 由，取x=1，得=（1，0，﹣），…‎ 设平面BDM的法向量为=（a，b，c），点M（x0，y0，z0），‎ 则由，得M（﹣，0，1﹣λ），‎ ‎∴=（），=（，﹣，1﹣λ），‎ ‎∴，取a=1，解得=（1，0，），…‎ 由已知可得cos60°==，解得或（舍），‎ ‎∴点M为棱PC的中点．∴PM=1．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E：，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求a，b，k的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若离心率且，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用等比数列的中项的性质，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到b=ak；‎ ‎（Ⅱ）运用离心率公式，可得斜率k，再由弦长公式，结合条件，运用基本不等式即可得到所求最值，以及m的取值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列，‎ 得，‎ 由，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，‎ 故△=（2a2km）2﹣4（b2+a2k2）（a2m2﹣a2b2）＞0，‎ 即b2﹣m2+a2k2＞0，‎ 又x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 又直线不经过原点，所以m≠0，‎ 所以b2=a2k2即b=ak；‎ ‎（Ⅱ）若，则，，‎ 又k＞0，得，‎ 则x1+x2=﹣=﹣m，x1x2==m2﹣2c2，‎ ‎|AB|=•=•‎ ‎=，‎ 化简得（△＞0恒成立），‎ 当时，焦距最小．‎ ‎　‎ ‎2016年12月14日