数学理卷·2017届湖南师大附中高三上学期第四次月考（2016 10页

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)‎ 数　学(理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(1)复数＝(D)‎ ‎(A)1－2i (B)1＋2i ‎(C)－1＋2i (D)－1－2i ‎(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i值为(B)‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎(3)设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为(C)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎(4)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n∥α，则m∥α；③若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.‎ 其中真命题的个数是(C)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎(5)已知函数y＝ax，y＝xb，y＝logcx的图象如图所示，则(C)‎ ‎(A)a>b>c ‎(B)a>c>b ‎(C)c>a>b ‎(D)c>b>a ‎(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)‎ ‎(A) π (B) (C) 3π (D) 4π ‎(7)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1方程x2－bnx＋2n＝0的两根，则b10等于(D)‎ ‎(A)24 (B)32 (C)48 (D)64‎ ‎(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)‎ ‎(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种 ‎(9)已知F1、F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上(O为原点)，则双曲线C的离心率为(D)‎ ‎(A) (B)3 (C) (D)2‎ ‎(10)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的(A)‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(11)设直线l：3x＋4y＋a＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则a的取值范围是(C)‎ ‎(A)[－18，6] (B)[6－5，6＋5]‎ ‎(C)[－16，4] (D)[－6－5，－6＋5]‎ ‎(12)若函数f(x)＝则当k>0时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为(D)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】结合图象分析．当k>0时，f[f(x)]＝－1，则f(x)＝t1∈或f(x)＝t2∈(0，1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1、x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3、x4，共存在4个零点，故选D.‎ 选择题答题卡 题　号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ 答　案 D B C C C D D B D A C D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎(13)在二项式的展开式中，x的一次项系数为__－80__．(用数字作答)‎ ‎(14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__．‎ ‎【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r，则 ，解得π＝3, r＝8，故答案为：3.‎ ‎(15)若x，y满足 ，则2x＋y的取值范围是__[0，3]__．‎ ‎(16)函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为____．‎ ‎【解析】由f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)知|AC|＝，|yB|＝ω，所以S△ABC＝·|AC|·|yB|＝ ，‎ 设A(x0，0) ，则ωx0＋φ＝，C，‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S，则 S＝|∫x0＋x0f′(x)dx|＝－∫x0＋x0f′(x)dx＝－f(x)|x0＋x0＝f(x0)－f ‎＝sin(ωx0＋φ)－sin＝sin－sin＝2. ‎ 所以该点在△ABC内的概率P＝＝＝.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)(x∈R)，f(x)的图象关于点对称．‎ ‎(Ⅰ)当x∈时，求f(x)的值域；‎ ‎(Ⅱ)若a＝7且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sin(x－A)cos x＋sin(B＋C)‎ ‎＝2(sin xcos A－cos xsin A)cos x＋sin A ‎＝2sin xcos xcos A－2cos2xsin A＋sin A ‎＝sin 2xcos A－cos2xsin A＝sin(2x－A)，‎ 由函数f(x)的图象关于点对称，知f＝0，‎ 即sin ＝0，又0＜A＜π，故A＝，所以f(x)＝sin，‎ 当x∈时，2x－∈，‎ 所以－ ＜sin≤1.即f(x)的值域为；‎ ‎(Ⅱ)由正弦定理得＝＝＝，则sin B＝b，sin C＝c，‎ 所以sin B＋sin C＝(b＋c)＝，即b＋c＝13，‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，从而bc＝40，‎ 则△ABC的面积为S＝bcsin A＝×40×＝10.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：‎ 网购金额 ‎(单位：千元)‎ 频数 频率 ‎(0，0.5]‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎(0.5，1]‎ x p ‎(1，1.5]‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎(1.5，2]‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎(2，2.5]‎ ‎18‎ ‎0.30‎ ‎(2.5，3]‎ y q 合计 ‎60‎ ‎1.00‎ ‎　　‎ 若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.‎ ‎(Ⅰ)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)．‎ ‎(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据题意，有，‎ 解得.‎ ‎∴p＝0.15，q＝0.10.‎ 补全频率分布直方图如图所示．‎ ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人，‎ 则其中“网购达人”有10×＝4人，‎ ‎“非网购达人”有10×＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点．将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA＝60°. 设G为AF的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：DG⊥EF；‎ ‎(Ⅱ)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；‎ ‎(Ⅲ)设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EF⊥FD，EF⊥FA，将正方形ABCD沿着线段EF折起后，仍有EF⊥FD，EF⊥FA，而FD∩FA＝F，‎ 所以EF⊥平面DFA.又因为DG平面DFA，所以DG⊥EF.‎ ‎(Ⅱ)因为∠DFA＝60°，DF＝FA，所以△DFA为等边三角形，又AG＝GF，故DG⊥FA.‎ 由(Ⅰ)，DG⊥EF，又EF∩FA＝F，所以DG⊥平面ABEF.‎ 设BE的中点为H，连接GH，则GA，GH，GD两两垂直，故以GA，GH，GD分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，4，0)，C(0，4，)，F(－1，0，0), ‎ 所以＝(1，0，0)，＝(－1，0，)，＝(－2，－4，0)．‎ 设平面BCF的一个法向量为m＝(x，y，z), ‎ 由m·＝0，m·＝0，得 令z＝2，得m＝(2，－，2)．‎ 设直线GA与平面BCF所成角为α，‎ 则sin α＝|cos〈m，〉|＝＝.‎ 即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)由题意，可设P(0，0，k)(0≤k≤)，＝λ(0≤λ≤1)，‎ 由＝(1，4，)，得＝(λ，4λ，λ)，‎ 所以Q(λ－1，4λ，λ)，＝(λ－1，4λ，λ－k)．‎ 由(Ⅱ)，得＝(0，0，)为平面ABEF的法向量．‎ 因为PQ∥平面ABEF，所以·＝0，即λ－k＝0.‎ 所以||＝＝＝，‎ 又因为17λ2－2λ＋1＝17＋，所以当λ＝时，||min＝.‎ 所以当λ＝，k＝时，线段PQ长度有最小值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．‎ ‎【解析】(Ⅰ)依题意得＝，·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，由此解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为 ＋＝1.‎ ‎(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内．证明如下：‎ 方法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x0，y0)．‎ ‎∵M点在椭圆上，∴y02＝(4－x02)．　①‎ 又点M异于顶点A、B，∴－20，∴·>0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内．‎ 方法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则－20，使(x0－k)f′(x0)＋x0＋1<0，求k的最小值．‎ ‎【解析】(Ⅰ) 若a≤0，则对一切x>0，f(x)＝eax－x<1，这与题设矛盾， ‎ 故a>0.而f′(x)＝aeax－1，令f′(x)＝0，得x＝ln. ‎ 当xln时，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ 故当x＝ln时，f(x)取最小值f＝－ln. ‎ 于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当－ln≥1.　① ‎ 令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t. ‎ 当00，g(t)单调递增；当t>1时，g′(t)<0，g(t)单调递减. ‎ 故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当＝1即a＝1时，①式成立. ‎ 综上所述，a的取值集合为{1}. ‎ ‎(Ⅱ)a＝1时，f′(x)＝ex－1, 所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1, ‎ 故当x>0时， (x－k)f′(x)＋x＋1<0等价于k>＋x，　②‎ 令h(x)＝＋x(x>0)，则h′(x)＝＋1＝，‎ 令φ(x)＝ex－x－2(x>0)，则φ′(x)＝ex－1 >0，φ(x)在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h′(x)在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，‎ 则α∈(1，2)，eα＝α＋2，‎ 当x∈(0，α)时， h′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时， h′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(α) ，而h(α)＝＋α＝α＋1∈(2，3)，‎ 而由②知，存在x0>0，使(x0－k)f′(x0)＋x0＋1<0等价于k>h(α)，所以整数k的最小值为3. ‎ 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的普通方程；‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设P(x，y)，则由条件知M. 由于M点在C1上，所以 ，即 ，消去参数α得x2＋(y－4)2＝16, ‎ 即C2的普通方程为x2＋(y－4)2＝16.‎ ‎(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.‎ 射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，‎ 射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.‎ 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.‎ ‎(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．‎ ‎(Ⅰ)求m的值；‎ ‎(Ⅱ)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为f(x)＝m－|x－2|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知＋＋＝1，a，b，c∈R＋，‎ 方法1：由基本不等式得：‎ a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ‎＝3＋＋＋ ‎≥3＋2＋2＋2＝9.‎ 方法2：由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.‎