【数学】2019届一轮复习人教A版集合的表示及其关系学案 5页

‎ 专题1 集合的表示及其关系 ‎【典例解析】‎ ‎1. (必修1第7页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：‎ ‎【解析】本题为判断两个集合的关系，集合间存在有子集，相等与真子集的关系。而分析集合间的关系需从集合中的元素入手，联系定义作出判断；‎ 方法1；可知。‎ 方法2；亦可将A集合进行表达方式的转换即；4与10的最小公倍数为20，则所有的公倍数为；‎ ‎，可得。‎ ‎【反思回顾】（1）知识反思：需要熟悉集合的表达方式（列举法、描述法、韦恩图），明确集合间关系（子集，真子集，相等）的概念。‎ ‎（2）解题反思：由于给出的集合为无限集合，判断它们间的关系，可采用转换为列举法表示（明确简单，但较为繁琐，同时不够全面），或对集合进行解读，再采用对应思想进行比较。‎ ‎2.（必修1第44页复习参考题A组第4题）已知集合，集合，若，求实数的值.‎ ‎【错解】由题；， 或，解得；。‎ ‎【错题剖析】本题以方程的解为载体，考查了集合的子集概念。易忽视空集的情况，即空集是 任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。概念不清造成漏解。‎ ‎【正解】题目给出了两个集合的关系，求参数的值；则，‎ 则当时，可得，当时，可得，当时，得 综上：；‎ ‎【反思回顾】（1）知识反思：涉及集合的表示，集合间的关系，一次和二次方程的求解问题。‎ ‎（2）解题反思；本题给出集合为两个方程的根，条件，可从元素分析入手，即B集合中的所有元素都在集合A中。由于空集的存在需对集合B的情况进行分类，从而求出的值；体现了分类思想和对集合语言（方程的根）的深刻理解和运用。‎ 注意：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，‎ 在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误。‎ ‎【知识背囊】‎ ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AÞB或BßA.‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.‎ ‎(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ ‎【变式训练】‎ 变式1.已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（　　）‎ A．　　　　 B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】选项A错，应当是..选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，‎ 正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是.‎ 变式2.已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A. A ßB B. BÞA C. A⊆B D. B＝A ‎【答案】B.‎ ‎【解析】易知A集合中元素为函数定义域：A＝{x|－1≤x≤1}，‎ 由A集合可得B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此BÞA。‎ 变式3.已知集合，，若，则与的关系是（）‎ A． B． C.或 D．不能确定 ‎【答案】A 变式4.已知集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解.‎ ‎ ，由，可得是方程的两根，由韦达定理可得，即，故选B.‎ 反思：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；‎ ‎（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；‎ ‎（3）注意化归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解．‎ 变式5. S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（ 　　）‎ ‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】C 变式6. ，，且，则的取值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 ，当 时， ，当时， ，‎ ‎ 所以 或,所以或,所以 反思：已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.‎ 变式7．已知集合若，则的取值范围为______. ‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】集合，集合．‎ ‎ 若，则或即或．‎ ‎ 那么，则．‎ 反思：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足 ‎ ‎ 的的取值范围，再利用补集思想转回来解决了问题．所以只要是出现 ‎ 求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用解决问题方便的原则来考虑．‎ ‎【高考链接】‎ ‎1.【2015高考重庆理1】已知集合A=,B=，则（　　）‎ A、A=B B、AB= C、AB D、BA ‎【答案】D ‎【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.‎ ‎2.【2015新课标高考】已知集合，集合，则（）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】由题可得；，，故选D.‎ ‎3.【2015湖南理2】设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.‎ ‎4.【2014上海理11】. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意或，因为，，，‎ 因此．‎ ‎5.【2014福建,理15】若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】分析：由于题意是只有一个是正确的所以①不成立,否则②成立.即可得.由即.可得.两种情况.由.所以有一种情况.由即.可得.共三种情况.综上共6种.‎ ‎【反思】本题主要考查集合、推理及分类讨论思想，此类题的易错点是：分类不严谨；审题不认真.本题若对“有且只有”这四个字不敏感，则在解题过程中不易找到突破口.因此这类题一定要认真审题，分类做到不重不漏，才不会陷入命题人设计的陷阱.‎ 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——------高斯