山东省淄博市第七中学2020届高三一模考试数学试卷 12页

数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ l．已知集合，则 A．{1，2} B．{1，－2} C．{－1，2} D．{－1，－2}‎ ‎2．复数的实部与虚部相等，其中为虚数单位，则实数 A．3 B． C. D．‎ ‎3．设，命题“存在m>0，使方程有实根”的否定是 A．任意m>0，使方程无实根 B．任意m≤0，使方程有实根 C．存在m>0，使方程无实根 D．存在m≤0，使方程有实根 ‎4. 的展开式中的系数是，则实数m=‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎5．函数上为增函数，则的值可以是 A．0 B. C. D．‎ ‎6.若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为 A. B. C. D. ‎ ‎7.‎2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”‎ 医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 A.18种 B.20种 C.22种 D.24种 ‎8.在中，，若，则实数 A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9.已知抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p的值可以是 A.2 B.6 C.4 D.8‎ ‎10.在正方体中，P，Q分别为棱BC和棱的中点，则下列说法正确的是 A. 平面AQP B.平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 C. 平面AQP D.异面直线QP与所成的角为 ‎11.居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.下图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图：‎ ‎（注：同比=，同比涨跌幅=，环比=，环比涨跌幅=）‎ 则下列说法正确的是 A.2019年12月与2018年12月CPI相等 B.2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%‎ C.2019年7月至2019年11月CPI持续增长 D.2020年1月至2020年3月CPI持续下降 ‎12.已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是 A. ‎ B.点是函数的图象的一个对称中心 C.函数在上单调递增 D.函数在上有3个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程是___________.‎ ‎14.记为数列的前项和，若，则___________.‎ ‎15.如图，分别是双曲线的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M，直线交另一条渐近线于点N，若，则___________，若为双曲线右焦点，则的周长为_________.（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：‎ 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：‎ 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为__________.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）等差数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.‎ ‎（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数k，使得成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，在直线，，点M在线段AB上.‎ ‎（1）若，求CM的长；‎ ‎（2）点N是线段CB上一点，，求BM+BN的值.‎ ‎19.（12分）‎ 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为PC的中点，F为棱BC上的一点。‎ ‎（1）证明：面面ABCD；‎ ‎（2）当F为BC中点时，求二面角余弦值.‎ ‎20.（12分）‎ 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.‎ 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中.‎ ‎（1）根据数据及统计图表，判断（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于t的回归方程；‎ ‎（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.‎ 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎.‎ 参考数据：‎ ‎21.（12分）‎ 已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，点B是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆C上点A与点B关于原点O对称，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，连接AD并延长交C于另一点M，交y轴于点N.‎ ‎（i）求面积最大值；（ii）证明：直线AB与BM斜率之积为定值.‎ ‎22.（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；‎ ‎（2）设数列，其前n项和为，证明：.‎ 数学试题参考答案及评分标准 一、单英选择题：1-8 CBAC DDBD 二、多项选择题：9.AC 10.ABD 11.BC 12.AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.；14. ；15.3、；‎16.0.42‎.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：‎ ‎①，此时等差数列，……………………2分 所以其通项公式为 . …………………………4分 ‎②，此时等差数列，，……………………2分 所以其通项公式为. ……………………………4分 ‎（2）若选择①，. ………………………………5分 则.……………………………………6分 若成等比数列，则，…………………………………………7分 即，整理，得，‎ ‎ ………………………………9分 此方程无正整数解，故不存在正整数k，使成等比数列.…………………10分 若选择②，， ……………………………5分 则， ……………………………6分 若成等比数列，则， ……………………………7分 即，整理得，因为k为正整数，所以k=6.‎ ‎ ……………………………9分 故存在正整数，使成等比数列. …………………………10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）在中，已知，由正弦定理，得 ‎，……………………………………………………………2分 于是，解得.…………………………………………4分 ‎（2）因为，所以，‎ 解得 . ……………………………………6分 在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎ ……………………………………9分 即，‎ ‎，………………………………………………11分 故. ……………………………………………………………12分 ‎19.（12分）‎ 证明：（1）因为底面ABCD为正方形，所以AD=AB=8‎ 又因为，满足，‎ 所以 又面ABCD，面ABCD，‎ ‎，‎ 所以面ABCD. …………………………4分 又因为面PAF，所以，面面ABCD.………………………………………5分 ‎（2）由（1）知AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为轴建系如图所示，‎ 则则，‎ 所以，…………7分 设面ANF法向量为，则由，‎ 令；…………………………………9分 同理可得，面PBC的法向量为，………………………………………10分 所以，‎ 所以二面角余弦值为.……………………………………………12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）根据数据及图表可以判断，‎ 更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程. …………………………2分 对两边取自然对数得，令，‎ 得. …………………………………………3分 因为， ………………………………………5分 所以，………………………………………7分 所以z关于t的线性回归方程为，‎ 所以y关于t的回归方程为. ………………………8分 ‎（2）将代入，其中，…………10分 于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.…………………12分 ‎21.（12分）‎ 解：（1）设，由，得.‎ 将代入，得，………………………2分 由，解得，………………………………………………………………3分 所以椭圆C的标准方程为. ……………………………………………4分 ‎（2）设，则 ‎（i）易知ON为的中位线，所以，‎ 所以，………………………………………5分 又满足，所以 ‎，得，……………………………………6分 故，当且仅当，即时取等号，‎ 所以面积最大值为. …………………………………………………………7分 ‎（ii）记直线AB斜率为，则直线AD斜率为，所以直线AD方程为. ………………………………………8分 由，得，……………………9分 由韦达定理得，所以，代入直线AD方程，得，…………………………………………………………………11分 于是，直线BM斜率，‎ 所以直线AB与BM斜率之积为定值. ………………………………………12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）由，得.………2分 当时，方程的，因式在区间上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.又，所以函数在区间上恒成立； ……………………3分 当时，方程有两个不等实根，且满足，‎ 所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意； ………………………………………………………………4分 当时，在区间，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；…………5分 综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为. …………6分 ‎（2）由第（1）知：若时，. …………7分 若，则，即 成立. …………………………………………8分 将换成，得成立，即 ‎，‎ 以此类推，得，……………………‎ 上述各式相加，得 ‎， ……………………10分 又， …………………………11分 所以. ……………………………12分