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- 2021-06-11 发布
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1.5.3
定积分的概念
求曲线
y
=
f
(
x
)
对应的曲边梯形面积的方法
x
i
y
=
f
(
x
)
x
y
O
b
a
x
i
+1
x
i
(1)
分割
:
在区间
[a,b]
上等间隔地插入
n-1
个点
,
将
它等分成
n
个小区间
:
每个小区间宽度
△
x
(2)
取近似求和
:
任取
x
i
[x
i-1
, x
i
]
,第
i
个小曲边梯形的面积用高为
f(x
i
)
而宽为
△
x
的小矩形面积
f(x
i
)
△
x
近似之
.
x
i
y
=
f
(
x
)
x
y
O
b
a
x
i
+1
x
i
取
n
个小矩形面积的和作为曲边梯形面积
S
的近似值:
(3)
取极限
:
所求曲边梯形的面积
S
为
x
i
y
=
f
(
x
)
x
y
O
b
a
x
i
+1
x
i
1.
定积分的计算和简单应用
.
(
重点
)
2.
利用定积分求平面区域围成的面积
.
(
难点
)
探究点
1
定积分的定义
从求曲边梯形面积
S
的过程中可以看出
,
通过以下四步
:
分割
——
近似代替
——
求和
——
取极限
得到解决
.
定积分的定义
定积分的定义的理解
:
定积分的相关名称:
———
叫做积分号,
f(x) ——
叫做被积函数,
f(x)dx —
叫做被积式,
x ———
叫做积分变量,
a ———
叫做积分下限,
b ———
叫做积分上限,
[a, b] —
叫做积分区间
.
被积函数
被积式
积分变量
积分下限
积分上限
O
x
y
a
b
y
f
(
x
)
按定积分的几何意义,有
(1)
由连续曲线
y=f(x) (f(x)
0)
,直线
x=a
、
x=b
及
x
轴所围成的曲边梯形的面积为
(2)
设物体运动的速度
v=v(t)
,则此物体在时间区间
[a, b]
内运动的距离
s
为
1
x
y
O
f(x)
=
x
2
根据定积分的定义,右边图形的面积为
同样地,
1.5.2
中汽车在
0≤t≤1
这段时间内经过的路程
(1)
定积分是一个数值
,
它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即
总结提升:
(2)
定义中区间的分法和
i
的取法是任意的
.
x
y
O
当
f(x)
0
时,由
y
f (x)
、
x
a
、
x
b
与
x
轴所围成的曲边梯形位于
x
轴的下方,
a
b
y
f
(
x
)
y
-
f
(
x
)
=-
S
a
b
y
f
(
x
)
O
x
y
根据定积分的几何意义
,
如何用定积分表示图中蓝色阴影部分的面积
?
b
y
f
(
x
)
O
x
y
探究点
3
用定积分表示图中阴影部分的面积
a
探究点
4
定积分的基本性质
性质
1
性质
2
(k
为常数
)
性质
3.
定积分关于积分区间具有
可加性
O
x
y
a
b
y
f
(
x
)
C
(
其中
a
<
c
<
b)
性质
3
不论
a
,
b
,
c
的相对位置如何都有
a
b
y
=
f
(
x
)
c
O
x
y
1.
用定积分表示图中四个阴影部分面积
解:
0
a
y
x
f(x)=x
2
0
x
y
x
-1
2
f(x)=x
2
x
-1
0
y
x
a
b
f(x)=1
0
y
x
-1
2
f(x)=(x-1)
2
-1
解:
x
y
f(x)=sinx
1
-1
2.
3.
面积值为圆的面积的
1.
求曲边梯形面积
分割
——
近似代替
——
求和
——
取极限
2.
定积分定义
3.
定积分几何意义
4.
定积分计算性质
健康身体是基础,良好学风是条件,勤奋刻苦是前提,学习方法是关键,心理素质是保证
.