【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第1节任意角弧度制及任意角的三角函数学案 14页

第 1 节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1°＝ π 180 rad；1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 弧长 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2lr＝1 2|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y， cos α＝x，tan α＝y x(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP， OM，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线. [微点提醒] 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.若α∈ 0，π 2 ，则 tan α>α>sin α. 3.角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制 度必须一致，不可混用. 4.象限角的集合 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于 90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是 0，π 2 . (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修 4P12 例 2 改编)已知角α的终边过点 P(8m，3)，且 cos α＝－4 5 ，则 m 的值 为( ) A.－1 2 B.1 2 C.－ 3 2 D. 3 2 解析 由题意得 m<0 且 8m （8m）2＋32 ＝－4 5 ，解得 m＝－1 2. 答案 A 3.(必修 4P4 例 1 改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成 的集合为________. 解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－ 720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z). 解得 k＝－2 或 k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. 答案 {－675°，－315°} 4.(2019·衡水模拟)若 sin θ·cos θ<0，tan θ sin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 由tan θ sin θ>0，得 1 cos θ>0，故 cos θ>0.又 sin θ·cos θ<0，所以 sin θ<0，所以θ为 第四象限角. 答案 D 5.(2018·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆 心角α∈(0，π)的弧度数为________. 解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r＝α·r，所以α ＝ 3. 答案 3 6.(2019·武汉模拟)已知角α的终边在直线 y＝－x 上，且 cos α<0，则 tan α＝ ________. 解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x，y)，则 y ＝－x，由三角函数的定义得 tan α＝y x ＝－x x ＝－1. 答案 －1 考点一 角的概念及其集合表示 【例 1】 (1)若角α是第二象限角，则α 2 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线 y＝ 3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π 2 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π 4 ＋kπ＜α 2 ＜π 2 ＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α 2 是第一象限角； 当 k 为奇数时，α 2 是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是π 3 ，在[0，2π) 内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π 3 ，4 3π；在[－2π，0)内满足条件的角有两 个：－2 3π，－5 3π，故满足条件的角α构成的集合为 －5 3π，－2 3π，π 3 ，4 3π . 答案 (1)C (2) －5 3π，－2 3π，π 3 ，4 3π 规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. 2. 若 要确 定 一 个 绝 对 值 较 大 的 角 所 在 的 象 限 ， 一 般 是 先 将 角 化 为 2kπ ＋ α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断. 【训练 1】 (1)设集合 M＝ x|x＝k 2·180°＋45°，k∈Z ， N＝ x|x＝k 4·180°＋45°，k∈Z ，那么( ) A.M＝N B.M ⊆ N C.N ⊆ M D.M∩N＝∅ (2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表 示为________. 解析 (1)由于 M 中，x＝k 2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数； 而 N 中，x＝k 4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M ⊆ N. (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为 π 4 ，5 6π ， 所以，所求角的集合为 α|2kπ＋π 4<α<2kπ＋5π 6 ，k∈Z . 答案 (1)B (2){α|2kπ＋π 4<α<2kπ＋5π 6 ，k∈Z} 考点二 弧度制及其应用 典例迁移 【例 2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为 R，弧长为 l.若α＝π 3 ，R＝ 10 cm，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π 3 ，R＝10， ∴S 扇形＝1 2α·R2＝1 2 ×π 3 ×102＝50π 3 (cm2). 【迁移探究 1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l＝α·R＝π 3 ×10＝10π 3 (cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝1 2·l·R－1 2·R2·sin π 3 ＝1 2 ×10π 3 ×10－1 2 ×102× 3 2 ＝50π－75 3 3 (cm2). 【迁移探究 2】 若例题条件改为：“若扇形周长为 20 cm”，当扇形的圆心角α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20，即 l＝20－2R(00 且 sin θ＝ m 16＋m2 ＝3 5 ，解得 m＝3. 答案 3 10.已知扇形的圆心角为π 6 ，面积为π 3 ，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为 r，弧长为 l， 则 l r ＝π 6 ， 1 2lr＝π 3 ， 解得 l＝π 3 ， r＝2. 答案 π 3 11.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos α＝1 5x， 则 tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以 cos α＝1 5x<0，即 x<0. 又 cos α＝1 5x＝ x x2＋16 ， 解得 x＝－3，所以 tan α＝4 x ＝－4 3. 答案 －4 3 12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，则实数 a 的取值 范围是________. 解析 ∵cos α≤0，sin α>0， ∴角α的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上. ∴ 3a－9≤0， a＋2>0， ∴－20. (1)求角α的集合； (2)求α 2 的终边所在的象限； (3)试判断 tan α 2sin α 2cos α 2 的符号. 解 (1)由 sin α<0，知α在第三、四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限， 其集合为 α|2kπ＋π<α<2kπ＋3π 2 ，k∈Z . (2)由(1)知 2kπ＋π<α<2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 故 kπ＋π 2<α 20，cos α 2<0， 所以 tan α 2sin α 2cos α 2 取正号； 当α 2 在第四象限时，tan α 2<0， sin α 2<0，cos α 2>0， 所以 tan α 2sin α 2cos α 2 也取正号. 综上，tan α 2sin α 2cos α 2 取正号.