高中数学选修2-2教案第二章 1 10页

明目标、知重点 ‎1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．‎ ‎2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．‎ ‎1．函数的平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.‎ ‎2．函数的瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率为＝＝；当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．‎ ‎3．函数的平均变化率与瞬时变化率的特点 平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．‎ ‎[情境导学]‎ 某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？‎ 探究点一　函数的平均变化率 思考1　如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？‎ 答　如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．‎ 如用比值近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．‎ 思考2　什么是平均变化率，平均变化率有何作用？‎ 答　如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．‎ 例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．‎ 解　从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 ＝1(千克/月)．‎ 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 ＝＝0.4(千克/月)．‎ 反思与感悟　求平均变化率的主要步骤：‎ ‎(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．‎ ‎(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.‎ ‎(3)得平均变化率＝.‎ 跟踪训练1　如图是函数y＝f(x)的图像，则 ‎(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 ‎ ‎ ；‎ ‎(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 ．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.‎ ‎(2)由函数f(x)的图像知，‎ f(x)＝.‎ 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 ＝＝.‎ 探究点二　求函数的平均变化率 例2　已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：‎ ‎(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．‎ 解　(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为 ＝＝4；‎ ‎(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝＝3；‎ ‎(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 ＝＝2.1；‎ ‎(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 ＝＝2.001.‎ 反思与感悟　函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．‎ 跟踪训练2　分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．‎ 解　自变量x从0变到1时，‎ 函数f(x)的平均变化率为 ＝－3，‎ 自变量x从m变到n时，‎ 函数f(x)的平均变化率为 ＝－3.‎ 思考　一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？‎ 答　根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图像上任意两点连线的斜率是定值k，即一次函数的平均变化率是定值．‎ 探究点三　瞬时变化率 思考1　高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员在时间内的平均速度为多少？‎ 答　易知h()＝h(0)，＝＝0.‎ 思考2　物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？‎ 答　不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．‎ 思考3　如何描述物体在某一时刻的运动状态？‎ 答　可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．‎ 要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度．‎ 例3　一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，估计汽车在t＝3 s时的瞬时速度．(时间单位：s；位移单位：m)‎ 解　当时间从3变到3＋Δt时，‎ ＝＝ ‎＝3Δt＋18.‎ 当Δt趋于0时，趋于常数18.‎ ‎∴这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s.‎ 反思与感悟　要求瞬时速度，可先求平均速度，Δt趋于0，则平均速度趋于瞬时速度；理解求法中的逼近思想．‎ 跟踪训练3　求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的瞬时变化率．‎ 解　∵＝ ‎＝ ‎＝＝－Δx－1.‎ ‎∴当Δx趋于0时，趋于－1.‎ 即函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为－1.‎ ‎1．已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)‎ A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2‎ 答案　C 解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1‎ ‎＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.‎ ‎2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 答案　C 解析　当t＝2时，Δs＝(2＋Δt)2－×22‎ ‎＝Δt＋(Δt)2，‎ 所以＝＋Δt.‎ 当Δt趋于0时，趋于.‎ ‎3．质点运动方程为s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)内，相应的平均速度等于 ．‎ 答案　6＋Δt ‎4．函数y＝f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为 ．‎ 答案　－2‎ 解析　Δy＝＋2－(＋2)‎ ‎＝－1＝，‎ ‎∴＝，‎ 当Δx趋于0时，趋于－2.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．‎ ‎2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．‎ 一、基础过关 ‎1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　)‎ A．0.41 B．3‎ C．4 D．4.1‎ 答案　D 解析　＝＝＝4.1.‎ ‎2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．Δx 答案　A 解析　＝＝0.‎ ‎3．在曲线y＝x2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则等于(　　)‎ A．Δx＋＋2 B．Δx－－2‎ C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 答案　C 解析　＝＝2＋Δx.‎ ‎4．函数y＝2x2－x在x＝2附近的平均变化率是(　　)‎ A．7 B．7＋Δx C．7＋2Δx D．7＋2(Δx)2‎ 答案　C 解析　∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2－(2＋Δx)－6‎ ‎＝7Δx＋2(Δx)2，‎ ‎∴＝＝7＋2Δx.‎ ‎5．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为 ‎ ‎ ．‎ 答案　－9‎ 解析　函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝＝－9.‎ ‎6．函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝ .‎ 答案　1－ 解析　∵Δy＝(x＋Δx)＋－x－ ‎＝Δx＋－＝Δx＋.‎ ‎∴＝1－.‎ ‎7．已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．‎ ‎(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；‎ ‎(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求.‎ 解　由题意可知，＝＝＝4t＋2Δt.‎ ‎(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02 cm/s.‎ ‎(2)当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2＋2×0.001＝8.002 cm/s.‎ 二、能力提升 ‎8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 答案　B 解析　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，‎ 但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)hAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．‎ ‎12．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．‎ 解　＝ ‎＝ ‎＝＝Δx－3，‎ 当Δx趋于0时，趋于－3，即第2 h时，瞬时变化率为－3.‎ 它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降．‎ 三、探究与拓展 ‎13．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)‎ s＝ 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；‎ ‎(2)物体的初速度v0；‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度．‎ 解　(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，‎ 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，‎ ‎∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为 ＝＝24 (m/s)．‎ ‎(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．‎ ‎∵物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝ ‎＝ ‎＝3Δt－18，‎ ‎∴当Δt趋于0时，趋于－18，‎ ‎∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，‎ 即物体的初速度为－18 m/s.‎ ‎(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．‎ ‎∵物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝ ‎＝ ‎＝3Δt－12.‎ ‎∴当Δt趋于0时，趋于－12，‎ ‎∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.‎ 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.‎