【数学】2019届一轮复习人教A版理第7章第7节　第1课时　利用空间向量证明平行与垂直教案 13页

第七节　立体几何中的向量方法 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用 向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线 和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几 何问题中的应用． (对应学生用书第 120 页) [基础知识填充] 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行 或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2直线 l1，l2 的方向向量 分别为 n1，n2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 l∥α n⊥m⇔n·m＝0直线 l 的方向向量为 n， 平面 α 的法向量为 m l⊥α n∥m⇔n＝λm α∥β n∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分 别为 n，m α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 3.异面直线所成的角 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角〈a，b〉 范围 0<θ≤π 2 0＜〈a，b〉＜π 关系 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b| cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| 4.直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角 为 θ，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n|. 5．二面角 (1)如图 7­7­1①，AB，CD 是二面角 α­l­β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则 二面角的大小 θ＝〈AB → ，CD → 〉． 图 7­7­1 (2)如图 7­7­1②③，n1，n2 分别是二面角 α­l­β 的两个半平面 α，β 的法向量， 则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　　) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．(　　) (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角．(　　) (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　) (6)两异面直线夹角的范围是(0，π 2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二 面角的范围是[0，π]．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改编)设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向 量．若 α⊥β，则 t＝(　　) A．3　　 B．4　　　　C．5　　　　D．6 C　[∵α⊥β，则 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.] 3．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是(　　) A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C．(－ 3 3 ，－ 3 3 ，－ 3 3 ) D．( 3 3 ， 3 3 ，－ 3 3 ) C　[设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量， 则Error!化简得Error! ∴x＝y＝z.故选 C．] 4．直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中 点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　　) A． 1 10 B．2 5 C． 30 10 D． 2 2 C　[建立如图所示的空间直角坐标系 C­xyz，设 BC＝2，则 B(0,2,0)， A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM → ＝(1，－1,2)，AN → ＝(－1,0,2)，故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ＝ |BM → ·AN → | |BM → |·|AN → | ＝ 3 6 × 5 ＝ 30 10 .] 5．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________． 45°　[如图，建立空间直角坐标系，设 AB＝PA＝1，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)， P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD， 又 CD⊥平面 PAD， ∴CD⊥AE，从而 AE⊥平面 PCD． ∴AD → ＝(0,1,0)，AE → ＝(0，1 2 ，1 2)分别是平面 PAB，平面 PCD 的法向量，且 〈AD → ，AE → 〉＝45°. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°.] 第 1 课时　利用空间向量证明平行与垂直 (对应学生用书第 121 页) 利用空间向量证明平行问题 　(2017·天津高考节选)如图 7­7­2，在三棱锥 P­ABC 中，PA⊥底面 ABC， ∠BAC＝90°.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点， PA＝AC＝4，AB＝2. 图 7­7­2 求证：MN∥平面 BDE. [解]　如图，以 A 为原点，分别以AB → ，AC → ，AP → 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)， D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)． 证明：DE → ＝(0,2,0)，DB → ＝(2,0，－2)． 设 n＝(x，y，z)为平面 BDE 的一个法向量， 则Error! 即Error!不妨设 z＝1，可得 n＝(1,0,1)． 又MN → ＝(1,2，－1)， 可得MN → ·n＝0. 因为 MN⊄平面 BDE，所以 MN∥平面 BDE. [规律方法]　(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是 运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为 零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向 量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何 的证明问题转化为向量运算. [跟踪训练]　如图 7­7­3 所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形， △PAD 是直角三角形，且 PA＝AD＝2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的 中点．求证：PB∥平面 EFG. 图 7­7­3 [证明]　∵平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形， 且 PA＝AD， ∴AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系 A­xyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1,2,0)． ∴PB → ＝(2,0，－2)，FE → ＝(0，－1,0)，FG → ＝(1,1，－1)， 设PB → ＝sFE → ＋tFG → ， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴Error!解得 s＝t＝2， ∴PB → ＝2FE → ＋2FG → ， 又∵FE → 与FG → 不共线， ∴PB → ，FE → 与FG → 共面． ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG. 利用空间向量证明垂直问题 　(2017·开封模拟)如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB． 图 7­7­4 求证：平面 BCE⊥平面 CDE. 【导学号：97190251】 [证明]　设 AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a， 3a,0)，E(a， 3a,2a)． 所以BE → ＝(a， 3a，a)，BC → ＝(2a,0，－a)，CD → ＝(－a， 3a,0)，ED → ＝(0,0， －2a)． 设平面 BCE 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， 由 n1·BE → ＝0，n1·BC → ＝0 可得 Error! 即Error! 令 z1＝2，可得 n1＝(1，－ 3，2)． 设平面 CDE 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 由 n2·CD → ＝0，n2·ED → ＝0 可得 Error! 即Error! 令 y2＝1，可得 n2＝( 3，1,0)． 因为 n1·n2＝1× 3＋1×(－ 3)＝0. 所以 n1⊥n2， 所以平面 BCE⊥平面 CDE. 若本例中条件不变，点 F 是 CE 的中点，证明 DF⊥平面 BCE. [证明]　由例 2 知 C(2a,0,0)，E(a， 3a,2a)，平面 BCE 的法向量 n1＝(1，－ 3，2)． ∵点 F 是 CE 的中点，∴F(3a 2 ， 3a 2 ，a)， ∴DF → ＝(a 2 ，－ 3a 2 ，a) ∴DF → ＝a 2n1，∴DF → ∥n1， 故 DF⊥平面 BCE. [规律方法]　1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点 的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定 定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表 示. [跟踪训练]　如图 7­7­5 所示，已知四棱锥 P­ABCD 的底面是直角梯形， ∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底面 ABCD． 图 7­7­5 证明：(1)PA⊥BD； (2)平面 PAD⊥平面 PAB． [证明]　(1)取 BC 的中点 O，连接 PO， ∵平面 PBC⊥底面 ABCD，△PBC 为等边三角形， ∴PO⊥底面 ABCD． 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的 直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设 CD＝1，则 AB＝BC＝2，PO＝ 3. ∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0， 3)． ∴BD → ＝(－2，－1,0)，PA → ＝(1，－2，－ 3)． ∵BD → ·PA → ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－ 3)＝0， ∴PA → ⊥BD → ， ∴PA⊥BD． (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M(1 2 ，－1， 3 2 ). ∵DM → ＝(3 2 ，0， 3 2 )，PB → ＝(1,0，－ 3)， ∴DM → ·PB → ＝3 2 ×1＋0×0＋ 3 2 ×(－ 3)＝0， ∴DM → ⊥PB → ，即 DM⊥PB． ∵DM → ·PA → ＝3 2 ×1＋0×(－2)＋ 3 2 ×(－ 3)＝0， ∴DM → ⊥PA → ，即 DM⊥PA． 又∵PA∩PB＝P， ∴DM⊥平面 PAB．∵DM⊂平面 PAD， ∴平面 PAD⊥平面 PAB． 利用空间向量解决探索性问题 　(2018·北京东城区综合练习(二))如图 7­7­6，在几何体 ABCDEF 中， 平面 ADE⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝ 2EF，EF∥AB，M 为 BC 的中点． 图 7­7­6 (1)求证：FM∥平面 BDE； (2)求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值； (3)在棱 CF 上是否存在点 G，使 BG⊥DE？若存在，求CG CF 的值；若不存在， 请说明理由． [解]　(1)证明：取 CD 的中点 N，连接 MN，FN. 因为 N，M 分别为 CD，BC 的中点， 所以 MN∥BD． 又 BD⊂平面 BDE 且 MN⊄平面 BDE， 所以 MN∥平面 BDE. 因为 EF∥AB，AB＝2EF， 所以 EF∥CD，EF＝DN. 所以四边形 EFND 为平行四边形，所以 FN∥ED． 又 ED⊂平面 BDE 且 FN⊄平面 BDE， 所以 FN∥平面 BDE. 又 FN∩MN＝N， 所以平面 MFN∥平面 BDE. 又 FM⊂平面 MFN， 所以 FM∥平面 BDE. (2)取 AD 的中点 O，连接 EO，BO. 因为 EA＝ED，所以 EO⊥AD． 因为平面 ADE⊥平面 ABCD， 所以 EO⊥平面 ABCD，EO⊥BO. 因为 AD＝AB，∠DAB＝60°， 所以△ADB 为等边三角形． 因为 O 为 AD 的中点，所以 AD⊥BO. 因为 EO，BO，AO 两两垂直，设 AB＝4，以 O 为原点，OA，OB，OE 为 x 轴、y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系 O­xyz. 由 题 意 ， 得 A(2,0,0) ， B(0,2 3， 0) ， C( － 4,2 3， 0) ， D( － 2,0,0) ， E(0,0,2 3)，F(－1， 3，2 3)． CF → ＝(3，－ 3，2 3)，DE → ＝(2,0,2 3)， BE → ＝(0，－2 3，2 3)． 设平面 BDE 的法向量为 n＝(x，y，z)． 则Error!即Error! 令 z＝1，则 y＝1，x＝－ 3. 所以 n＝(－ 3，1,1)． 设直线 CF 与平面 BDE 所成角为 α， sin α＝|cos〈CF → ，n〉|＝ |CF → ·n| |CF → ||n| ＝ 10 10 . 所以直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值为 10 10 . (3)设 G 是 CF 上一点，且CG → ＝λCF → ，λ∈[0,1]． 因此点 G(3λ－4，－ 3λ＋2 3，2 3λ)． BG → ＝(3λ－4，－ 3λ，2 3λ)． 由BG → ·DE → ＝0，解得 λ＝4 9. 所以在棱 CF 上存在点 G 使得 BG⊥DE，此时CG CF ＝4 9. [规律方法]　利用空间向量解决探索性问题的方法 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向 量表示出来，然后再加以证明，得出结论. (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂 直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则 存在，否则不存在. [跟踪训练]　如图 7­7­7，在长方体 ABCD ­A 1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，E 为 CD 中点． 图 7­7­7 (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 B1AE？若存在，求 AP 的长； 若不存在，说明理由. 【导学号：97190252】 [解]　以 A 为原点，AB → ，AD → ，AA1→ 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系．设 AB＝a. (1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(a 2 ，1，0)，B1(a,0,1)， 故AD1→ ＝(0,1,1)，B1E → ＝(－a 2 ，1，－1). 因为B1E → ·AD1→ ＝－a 2 ×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 因此B1E → ⊥AD1→ ， 所以 B1E⊥AD1. (2)存在满足要求的点 P， 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE，此时DP → ＝(0，－1，z0)， 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． AB1→ ＝(a,0,1)，AE → ＝(a 2 ，1，0). 因为 n⊥平面 B1AE，所以 n⊥AB1→ ，n⊥AE → ，得Error! 取 x＝1，则 y＝－a 2 ，z＝－a， 则平面 B1AE 的一个法向量 n＝(1，－a 2 ，－a). 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥DP → ，有a 2 －az0＝0，解得 z0＝1 2. 所以存在点 P， 满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝1 2.