数学理卷·2017届河南省豫南九校（中原）2017届高三下学期质量考评（八）（2017 13页

中原名校2016-2017学年下期质量考评八 高三数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知纯虚数满足,则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若则”的逆否命题为“若则” ‎ B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 ‎ C．命题“若随机变量则”为真命题 D．若命题则 ‎ ‎4.若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，其几何体体积为（立方寸），则图中的为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.过双曲线的左焦点,作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.右图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于 两点，且点恰为的中点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，若则直线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若直线与函数的图像相交于点，且则线段与函数的图像所围成的图形面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数与函数的图像上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数的定义域为，其图像关于点中心对称，其导函数，当时，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设为单位向量，且，若以向量为邻边的三角形的面积为，则的值为 ．‎ ‎14.二项展开式中的系数为 ．‎ ‎15.设实数满足约束条件目标函数的最小值为，则的最大值为 ．‎ ‎16.已知数列满足则该数列的前 项的和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，在中，点在边上，‎ ‎（1）求 ‎（2）若的面积是求 ‎18.如图，在直角梯形中，点是边的中点，将沿折起，使平面平面,连接得到如图所示的几何体.‎ ‎（1）求证;平面；‎ ‎（2）若二面角的平面角的正切值为求二面角的余弦值.‎ ‎19.我国国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程，某市共有户籍人口万，其中老人（年龄岁及以上）人数约有万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表；‎ ‎（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？‎ ‎（2）估算该市岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；‎ ‎（3）据统计该市该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为部分老人每月发放生活补贴，标准如下：① 岁及以上长者每人每月发放生活补贴元； ②岁以下老人每人每月发放生活补贴元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴元.试估计政府执行此计划的年度预算.‎ ‎20.已知圆和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线 ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点在曲线上，若直线的斜率满足求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线和曲线交于两点，求 ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）令若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）在中,因为 由余弦定理得 所以 整理得 解得 所以 所以是等边三角形,‎ 所以 ‎（2）由于是的外角，所以 因为的面积是所以 所以 在中, ‎ 所以 在中，有正弦定理得 所以 ‎18.（1） 因为平面平面平面平面 又所以平面 因为平面所以 又因为折叠前后均有 所以平面 ‎(2)由（1）知平面，所以二面角的平面角为 又平面平面所以 依题意 因为所以 设则 依题意所以则 解得故 ‎ 如图所示，建立空间直角坐标系 ，则， ，， ，，‎ 所以， ，‎ 由（1）知平面的法向量 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 由 得 ‎ 令 ，得 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 由图可知二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19解：(1)数据整理如下表：‎ 从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：‎ 故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为 岁以下长者人数为人 ‎(2)在人中岁及以上长者在老人中占比为：‎ 用样本估计总体，岁及以上长者共有万，‎ 岁及以上长者占户籍人口的百分比为％=％，‎ ‎(3)用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，‎ 则随机变量的分布列为：‎ 全市老人的总预算为元，‎ 政府执行此计划的年度预算约为亿元.‎ ‎20.解：(1) 圆的圆心为，半径为点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，‎ 所以动圆与圆内切，设动圆半径为，则 因为动圆经过点所以 所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 由得 所以曲线的方程为 ‎(2)直线斜率为时，不合题意 设直线 联立方程组得 又得 代入得 又化简得 解得故直线过定点 由解得 ‎（当且仅当时取等号）‎ 综上，面积的最大值为 ‎21.(1)解：函数的定义域为 由得 因为则时，时，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，‎ 当即时，又则函数有零点 所有实数的取值范围为.‎ ‎(2)令则 当时,当时,‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时,‎ 于是，当时,‎ 令则 当时，当时,‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，‎ 于是，当时,‎ 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立，‎ 故当时，‎ 因为所以 所以 所以即 ‎22.解：(1)因为 所以 由 得 因为消去得 所以直线和曲线的普通方程分别为和 ‎(2)点的直角坐标为点在直线上，‎ 设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为，‎ ‎23.解：(1) 依题意得 当时，原不等式为：解得 当时，原不等式化为：解得 当时，原不等式化为：解得 综上可得，不等式的解集为 ‎(2)‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以的最小值为或 则所以 解得或.‎