【数学】2018届一轮复习人教A版（理）5-1平面向量的概念及线性运算学案 14页

‎§5.1　平面向量的概念及线性运算 考纲展示►　1.了解向量的实际背景．‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ 考点1　平面向量的有关概念 ‎ 　　‎ 向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．‎ ‎(2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于________的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．‎ 答案：(1)方向　模　(2)0　(3)1个单位　‎ ‎(4)相反　(5)相同　(6)相反 向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．‎ ‎(1)若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD的形状是__________．‎ 答案：平行四边形 解析：＝表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎(2)若四边形ABCD满足＝k(k>0，k≠1)，则四边形ABCD的形状是__________．‎ 答案：梯形 解析：＝k(k>0，k≠1)表示AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.‎ ‎[典题1]　(1)给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③ B．②④ ‎ C．③④ D．②③④‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，‎ ‎∴||＝||且∥.‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同．因此＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当b＝0时，a，c可能不平行．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.‎ ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．‎ ‎[点石成金]　1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．‎ ‎4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．‎ 考点2　向量的线性运算 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝________；‎ 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(________)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(________)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向________；‎ 当λ＜0时，λa与a的方向______；‎ 当λ＝0时，‎ λa＝0‎ λ(μ a)＝‎ ‎(______)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝‎ ‎________；‎ λ(a＋b)＝‎ ‎________‎ 答案：b＋a　b＋c　－b　相同　相反　λμ　‎ λa＋μa　λa＋λb ‎(1)[教材习题改编]向量和式(＋)＋(＋)＋化简后等于__________．‎ 答案： 解析：原式＝＋＋＋＋＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知三角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则＝________.‎ 答案：＋ ‎[典题2]　(1)[2017·广东惠州高三二模]如图，在正方形ABCD中，点E是DC 的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ ‎[答案]　D ‎[解析]　在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个三等分点，‎ 所以＝.‎ 所以＝＋＝＋＝－，故选D.‎ ‎(2)[2017·辽宁沈阳模拟]已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，‎ 设点D为底边BC的中点，‎ 则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3.‎ ‎[点石成金]　向量线性运算的解题策略 ‎(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．‎ ‎(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．‎ 考点3　共线向量定理的应用 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λ________.‎ 答案：a 处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论．‎ ‎(1)若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是__________．‎ 答案：共线向量或不共线向量 解析：若b＝0，则a与c未必是共线向量；若b是非零向量，则a与c是共线向量．‎ 注意：在处理向量问题时不要忽略零向量．‎ ‎(2)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．‎ 答案：[1,3]‎ 解析：当a，b方向相同时，有|a＋b|＝3；当a，b方向相反时，有|a＋b|＝1；当a，b不共线时，1<|a＋b|<3.所以|a＋b|的范围是[1,3]. ‎ 注意：在一般情况下，|a＋b|＝|a|＋|b|不成立.‎ 有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示．‎ ‎(1)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得＝t＋________.‎ 答案：1－t 解析：根据共线向量定理知，A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t使得＝t，即－＝t(－)，即＝t＋(1－t).‎ ‎(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝λ(＋)，则λ＝________.‎ 答案： 解析：由＝＋，＝＋，得 ‎2＝(＋)＋(＋)．‎ ‎∵＋＝0，∴＝(＋)．‎ ‎ [典题3]　设两个非零向量a和b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．‎ ‎(1)[证明]因为＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 所以＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线．‎ 又与有公共点B，‎ 所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)[解]　因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即解得k＝±1.‎ 即当k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线．‎ ‎[题点发散1]　若将本例(1)中“＝‎2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B，D三点共线？‎ 解：＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝‎4a＋(m－3)b，‎ 若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即‎4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，‎ 所以解得m＝7.‎ 故当m＝7时，A，B，D三点共线．‎ ‎[题点发散2]　若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？‎ 解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，‎ 即解得k＝±1.‎ 又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.‎ 故当k＝－1时，两向量反向共线．‎ ‎[点石成金]　1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ‎1a＋λ2b＝0成立；若λ‎1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．‎ ‎ ‎ ‎1.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ＝________.‎ 答案：1‎ 解析：由于c与d同向，所以c＝kd(k＞0)，‎ 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，‎ 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.‎ 由于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.‎ 又k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.‎ ‎2．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝________.‎ 答案： 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．‎ ‎∴a－tb与a－(a＋b)共线，‎ 即a－tb与a－b共线，‎ ‎∴存在实数λ，使a－tb＝λ，‎ ‎∴解得 即当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上.‎ ‎[方法技巧]　1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．‎ ‎2．对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎[易错防范]　1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．‎ ‎2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ ‎ B.＝－ C.＝＋ ‎ D.＝－ 答案：A 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案：A　解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ 答案：90°‎ 解析：∵＝(＋)，‎ ‎∴点O是△ABC边BC的中点，‎ ‎∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 专题一　平面向量与三角形问题的综合 ‎[典例1]　已知P是△ABC内一点，且＝＋，△PBC的面积是2 015，则△PAB的面积是________．‎ ‎[思路分析]　△PBC，△PAB分别与△ABC共底边于BC，AB，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB的面积．‎ ‎[解析]　设S△ABC＝S，S△PBC＝S1＝2 015，S△PAB＝S2.‎ 解法一：(恰当切入，从“三点共线”突破)如图所示，‎ 延长AP交BC于D，由平面几何知识，得＝.‎ 由A，P，D三点共线，可得 ＝μ＝μ＋μ(μ∈R)．①‎ 由B，D，C三点共线，可得 ＝λ＋(1－λ)(λ∈R)．②‎ 联立①和②，有解得 则＝μ＝，＝－＝，‎ 那么＝，‎ 于是S＝S1.‎ 同理，延长CP交AB于E，计算可得＝，‎ 所以S2＝S.‎ 于是S2＝S＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.‎ 解法二：(巧妙构造，引出向量“投影”取胜)如图所示，‎ 构造一个单位向量e(其中e⊥)，那么，在单位向量e方向上的投影长度|e·|与|e·|分别是△PBC，△ABC的公共底边上的高，‎ 则S＝||·|e·|‎ ‎＝|||e||||cos〈e，〉|‎ ‎＝||·||sin∠ABC；‎ 因为＝＋＝＋＋ ‎＝＋＋(＋)‎ ‎＝＋，‎ 所以S1＝|| ‎＝|| ‎＝|| ‎＝|||cos〈e，〉|‎ ‎＝ ‎＝S.‎ 设i为与向量垂直的单位向量，同理，可以推出S2＝S.‎ 于是S2＝S＝×S1＝S1＝×2 015＝2 821.‎ 解法三：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解)‎ 由＝＋，‎ 可得5＋6＋7＝0.‎ 令＝5，＝6，＝7，‎ 连接A′B′，B′C′，C′A′，如图所示，‎ 于是＋＋＝0.‎ 即P是△A′B′C′的重心，‎ S△PA′B′＝S△PB′C′，根据已知条件，得 S1＝||||sin∠BPC ‎＝sin∠BPC ‎＝ ‎＝S△PB′C′，‎ 所以S△PB′C′＝42S1，‎ 同理可得S△PA′B′＝30S2.‎ 于是S2＝S1＝2 821.故填2 821.‎ ‎[答案]　2 821‎ 温馨提示 在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：‎ ‎①可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；‎ ‎②可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e，i，如解法二；‎ ‎③可以转化条件形式，将＝＋转化成5＋6＋7＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．‎ 专题二　用几何法求解向量填空题 利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误．‎ ‎[典例2]　已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是________．‎ ‎[解析]　令＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，‎ 则OC＝a＋b，BA＝a－b，又|a|＝|b|＝|a－b|，‎ 所以△OAB是正三角形，由向量加法的几何意义，‎ 可知OC是∠AOB的平分线，所以a与a＋b的夹角是.‎ ‎[答案]　 ‎[典例3]　已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是________．‎ ‎①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.‎ ‎[解析]　根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|.所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.‎ ‎[答案]　②‎