【数学】2020届一轮复习人教B版14-2　直接证明与间接证明学案 3页

‎14.2　直接证明与间接证明 典例精析 题型一　运用综合法证明 ‎ ‎【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.‎ ‎【证明】因为a＋b＝1，‎ 所以＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋＋＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时等号成立.‎ ‎【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.‎ ‎【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ ‎【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式，‎ 有＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c.‎ 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 题型二　运用分析法证明 ‎【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.‎ ‎【证明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，‎ 故要证I2＜4S，只需证a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.‎ 欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，‎ 即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，‎ 只需证三括号中的式子均为负值即可，‎ 即证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，‎ 即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，‎ 显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.‎ 故I2＜4S.‎ ‎【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.‎ ‎(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.‎ ‎【变式训练2】已知a＞0，求证：－≥a＋－2.‎ ‎【证明】要证－≥a＋－2，‎ 只要证＋2≥a＋＋.‎ 因为a＞0，故只要证(＋2)2≥(a＋＋)2，‎ 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，‎ 从而只要证2≥(a＋)，‎ 只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，‎ 而该不等式显然成立，故原不等式成立.‎ 题型三　运用反证法证明 ‎【例3】 若x，y都是正实数，且x＋y＞2.求证：＜2或＜2中至少有一个成立.‎ ‎【证明】假设＜2和＜2都不成立.则≥2，≥2同时成立.‎ 因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，‎ 两式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2相矛盾.‎ 因此＜2与＜2中至少有一个成立.‎ ‎【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.‎ ‎【变式训练3】已知下列三个方程：x2＋4ax－‎4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－‎2a＝0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】假设三个方程均无实根，则有 由(‎4a)2－4(－‎4a＋3)＜0，得‎4a2＋‎4a－3＜0，即－＜a＜；‎ 由(a－1)2－‎4a2＜0，得(a＋1)(‎3a－1)＞0，即a＜－1或a＞；‎ 由(‎2a)2－4(－‎2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.‎ 以上三部分取交集得M＝{a|－＜a＜－1}，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为∁RM，即{a|a≤－或a≥－1}.‎ 总结提高 分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p⇒q”与逆否命题“q⇒p”是等价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“‎ q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等. ‎