数学理卷·2017届江西省赣吉抚七校高三阶段性教学质量监测考试二（2016 12页

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为虚数单位，,若是纯虚数，则的值为（ ）‎ A．－1或1 B．1 C．－1 D．3‎ ‎2.已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C. 若，则 D．若，则 ‎5.运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是（ ）‎ A．0 B．1 C. 3 D．－1‎ ‎6.在正方形中，点是的中点，点是的一个三等份点（靠近点），那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．2.5 B．3 C. 3.2 D．4‎ ‎8.设满足约束条件，若目标函数，的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.直线与轴的交点分别为，直线与圆的交点为.给出下列命题:.则下面命题正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（ ）‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数（为自然对数的底）.若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．‎ ‎14.对于函数，若关于的方程有且只有两个不同的实根，则 ．‎ ‎15.将正整数12分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为 ．‎ ‎16.已知双曲线的离心率为，实轴为，平行于的直线与双曲线交于点，则直线的斜率之积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知由实数组成的等比数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对，，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）已知，若对任意的，都有，求函数的单调递减区间.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知三棱台中，平面⊥平面，,‎ ‎.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点是的中点，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率，右顶点、上顶点分别为，直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为的动直线与椭圆的另一个交点为，，若点在圆上，求正实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知存在两个极值点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若实数满足等式，试求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，使得，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1.答案：B 解析：∵是纯虚数，∴，且，∴.‎ ‎2.答案：D 解析：由题意得，集合，集合,那么，故选D.‎ ‎3.答案：A 解析：，即在区间上恒成立，则，而，故选A.‎ ‎4. 答案：C 解析：对于A选项，两直线有可能异面或相交；对于B选项，两平面有可能相交；对于D选项，直线有可能在平面内，故选C.‎ ‎5. 答案：D 解析：∴，∴，根据程序框图，.‎ ‎6. 答案：D 解析：在中，因为点为的中点，所以.因为点为的一个三等分点，所以，所以，故选D.‎ ‎7. 答案：B 解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：‎ ‎8. 答案：C 解析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为.故答案为C.‎ ‎9. 答案：C 解析：真；‎ ‎,‎ ‎，所以，‎ 所以假，选C.‎ ‎10. 答案：A 解析：当时，函数是有且只有一个极大值点是，所以选A.‎ ‎11. 答案：D 解析：设切点为，则，又，所以，所以，因此，所以渐近线方程为.‎ ‎12. 答案：B 解析：过原点且与曲线相切的直线斜率是，作出图象可以看出斜率的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13. 答案： ‎ 解析：由直线与直线平行，可得，∴,直线可化为,∴.‎ ‎14. 答案：1 ‎ 解析：作出函数的图象，与直线有且只有两个交点，则，两交点关于直线对称，所以.‎ ‎15. 答案： ‎ 解析：当为偶数时，当为奇数时，,‎ 所以.‎ ‎16. 答案：－2‎ 解析：设点，则，所以 三、解答题 ‎17.解：（1）由条件得，‎ 所以.‎ ‎（2）,‎ 所以.‎ ‎18. 解：（1）由条件得:，‎ 从而,‎ 得，所以.‎ ‎（2）由条件得函数在时，取得最大值，‎ ‎19.（1）证明：梯形中，得：，从而 ‎，所以，‎ 因为平面⊥平面，且，‎ 所以平面，因此，‎ 所以平面 ‎（2）如图，以所在直线分别为轴，轴，点为原点建立空间直角坐标系，则，‎ ‎,‎ 又，‎ ‎,‎ 平面的法向量，设平面的法向量为，‎ 则 ‎，‎ 令，得，‎ 所以，‎ 所以所求二面角的余弦值是.‎ ‎20. 解：（1），所以直线的方程为即，‎ 圆心到直线的距离为，所以，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点的坐标为，则点的坐标为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，得，‎ 所以正实数的取值范围是.‎ ‎21. 解：（1）∵‎ ‎∴结合题意，为一元二次方程的两根，‎ 于是，且，可得：‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）可得 ‎∵‎ ‎∴由得，整理可得 ‎，‎ 令 设函数，求导得，所以，‎ 函数在和为减函数，‎ 设函数的值域为，‎ 因此的取值范围为.‎ ‎22. 解：（1）将代入曲线方程：，‎ 可得曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的普通方程为，将代入，‎ 得到的极坐标方程为.‎ ‎（2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为，‎ 射线与曲线的交点的极径满足，解得 所以.‎ ‎23. 解：（1）∵，∴，‎ ‎∵的解集为，∴，∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∵，使得成立，‎ ‎∴，即，解得，或，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎