【数学】2020年高考真题——全国III卷（文）（精校版） 10页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则A∩B中元素的个数为( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2．若，则z=( )‎ A．1–i B．1+i C．–i D．i ‎3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )‎ A．0.01 B．0.1 C．1 D．10‎ ‎4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）( )‎ A．60 B．63 C．66 D．69‎ ‎5．已知，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为( )‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 ‎7．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )‎ A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）‎ ‎8．点到直线距离的最大值为( )‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )‎ A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2‎ ‎10．设a=log32，b=log53，c=，则( )‎ A．a0,b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．‎ ‎15．设函数．若，则a=_________．‎ ‎16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）‎ 设等比数列{an}满足，．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．‎ ‎18．（12分）‎ 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：‎ 锻炼人次 空气质量等级 ‎[0,200]‎ ‎(200,400]‎ ‎(400,600]‎ ‎1（优）‎ ‎2‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎2（良）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎3（轻度污染）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4（中度污染）‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；‎ ‎（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？‎ 人次≤400‎ 人次>400‎ 空气质量好 空气质量不好 附：，‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050 0.010 0.001‎ k ‎3.841 6.635 10.828‎ ‎ 19．（12分）‎ 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）点在平面内．‎ ‎20．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有三个零点，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)‎ 设a，b，cR， a+b+c=0，abc=1．‎ ‎（1）证明：ab+bc+ca<0；‎ ‎（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．‎ 参考答案 选择题答案 一、选择题 ‎1．B 2．D 3．C 4．C ‎5．B 6．A 7．B 8．B ‎9．C 10．A 11．C 12．D 非选择题答案 二、填空题 ‎13．7 14． 15．1 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设的公比为，则.由已知得 ‎，‎ 解得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知 故 ‎ 由得，即.‎ 解得（舍去），.‎ ‎18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：‎ 空气质量等级 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率的估计值 ‎0.43‎ ‎0.27‎ ‎0.21‎ ‎0.09‎ ‎（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 ‎．‎ ‎（3）根据所给数据，可得列联表：‎ 人次≤400‎ 人次>400‎ 空气质量好 ‎33‎ ‎37‎ 空气质量不好 ‎22‎ ‎8‎ 根据列联表得 ‎．‎ 由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．‎ ‎19．解：（1）如图，连结，．因为，所以四边形为正方形，故．‎ 又因为平面，于是．所以平面．‎ 由于平面，所以．‎ ‎（2）如图，在棱上取点，使得，连结，，，‎ 因为，，，所以，于是四边形为平行四边形，故．‎ 因为，，，所以，，四边形为平行四边形，故．‎ 于是．所以四点共面，即点在平面内．‎ ‎20．解：（1）．‎ 当k=0时，，故在单调递增；‎ 当k<0时，，故在单调递增．‎ 当k>0时，令，得．当时，；当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点．‎ 当k>0时，为的极大值点，为的极小值点．‎ 此时，且，，．‎ 根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得．因此k的取值范围为．‎ ‎21．解：（1）由题设可得，得，‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）设，根据对称性可设，由题意知，‎ 由已知可得，直线BP的方程为，所以，，‎ 因为，所以，将代入的方程，解得或.‎ 由直线BP的方程得或8.‎ 所以点的坐标分别为.‎ ‎，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.‎ ‎，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.‎ 综上，的面积为.‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 解：（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；‎ 由得t=2，所以C与x轴的交点为．‎ 故．‎ ‎（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，‎ 得直线AB的极坐标方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]‎ 解：（1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以 ‎.‎ ‎（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.‎