数学文卷·2017届广东省汕头市潮南实验学校高三上学期期中考试（2016 9页

潮南实验学校2016—2017 学年度第一学期期中考试 高三数学文科试题 试卷分值：150 分 考试用间：120 分钟 命题教师：周建军 审核教师：叶仁 勇 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）已知 {1,2,4,8,16}A  ， 2{ | log , }B y y x x A   ，则 A B  （ ） （A）{1,2} （B）{2,4,8} （C）{1,2,4} （D）{1,2,4,8} （2）若复数 z 满足 (1 2 ) (1 )i z i   ，则| |z  （ ） （A） 2 5 （B） 3 5 （C） 10 5 （D） 10 （3）若 1 1tan ,tan( )3 2      ,则 tan = （ ） （A） 1 7 （B） 1 6 （C） 5 7 （D） 5 6 （4）函数 ,y x x px x R   （ ） （A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）不具有奇偶性 （D）奇偶性与 p 有关 （5）若向量 ( 1,2)a x  和向量 (1, 1)b   平行，则 a b  ＝（ ） （A） 10 （B） 10 2 （C） 2 （D） 2 2 （6）等比数列{ }na 的各项为正数，且 5 6 4 7 18a a a a  ，则 3 1 3 2 3 10log log loga a a    （ ）（A）12 （B）10 （C）8 （D） 32 log 5 （7）命题“任意   21,2 , 0x x a   ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） （A） 4a  （B） 4a  （C） 5a  （D） 5a  （8） 已知 0 3 6 0 2 0 x y x y x y           ，则 22 x yz  的最小值是（ ） （A） （B） （C） （D） （9）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） （A） （B） 3 （C） 1 2  （D） 1 3 （10）某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为 （ ）（A） 2(19 )cm （B） 2(22 4 )cm （C） 2(10 6 2 4 )cm  （D） 2(13 6 2 4 )cm  （ 11 ） 已 知 三 棱 锥 S ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形, 2, 2,AB SA SB SC    则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是（ ） （A） 3 3 （B）1 （C） 3 （D） 3 3 2 （12）双曲线 M ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的实轴的两个端点为 A 、B ，点 P 为双曲线 M 上除 A 、 B 外的一个动点，若动点Q 满足 ,QA PA QB PB  ,则动点Q 的轨迹为 （ ）（A）圆 （B）椭圆 （C） 双曲线 （D）抛物线 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）给出下列不等式： 1 11 12 3    , 1 1 1 31 .....2 3 7 2      ， 1 1 11 ..... 22 3 15      ， ………… 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 . （14）设 ( )f x 是定义在 R 上的周期为3的函数，右图表示该函数在区间 2,1 上的图像， 则 (2015) (2016)f f  . （ 15 ） 已 知 2x  ， 2y  ， 点 P 的 坐 标 为 ( , )x y ， 当 ,x y R 时 ， 点 P 满 足 2 2( 2) ( 2) 4x y    的概率为 . （16）设 ,m n R ，若直线 : 1 0l mx ny   与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，且l 与圆 2 2 4x y  相交所得弦的长为 2 ， O 为坐标原点，则 AOB 面积的最小值 为 . 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分）已知函数    sin 0, 2f x x           的部分图像如图 所示.（Ⅰ）求函数  f x 的解析式，并写出  f x 的单调减区间；（Ⅱ）已知 ABC 的内角 分别是 , ,A B C ， A 为锐角，且 1 4,cos sin2 12 2 5 Af B C      ，求 的值. （18）（本小题满分 12 分）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网知识测试，从这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人，所得 成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95. （Ⅰ）作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这 1500 志愿者中成 绩不低于 90 分的人数； （Ⅱ）从抽取的成绩不低于 80 分的志愿者中，随机选 3 名参加某项活动，求选取的 3 人中恰有一人成绩不低于 90 分的概率. （19）（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  平面 ABC ， ABC 为 正三角形， 1 6AA AB  ， D 为 AC 的中点． （ Ⅰ ） 求 证 ： 平 面 1BC D  平 面 11 AACC ；（ Ⅱ ） 求 三 棱 锥 1C BC D 的 体 积. （20）（本小题满分 12 分 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 上的点到两个焦点的距离之 和为 3 2 ，短轴长为 2 1 ，直线l 与椭圆C 交于 M 、 N 两点。（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ） 若直线l 与圆 25 1: 22  yxO 相切，证明： MON 为定值． （21）（本小题满分 12 分）已知函数 ， ．（Ⅰ）讨论函数 的单调性；（Ⅱ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 ( 1,0)P  ，其倾斜角为 ，以原点O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极 坐标方程为 2 6 cos 5 0     ． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求 的取值范围； （Ⅱ）设 ( , )M x y 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围． （23）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 设函数 ( ) | 1|f x ax  ．（Ⅰ）若 ( ) 2f x  的解集为[ 6,2] ，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 2a  时，若存在 x R ，使得不等式 (2 1) ( 1) 7 3f x f x m     成立， 求实数 m 的取值范围. 潮南实验学校2016—2017 学年度第一学期期中考试高三数学文科试 题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B C B C C A C A C 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13. 14. 2. 15. π 16 16.3 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 解：（Ⅰ）由周期 得 所以 ……………… 2 分 当 时 ， ， 可 得 因 为 所 以 故 ……4 分 由图像可得 的单调递减区间为 ……………6 分 （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 ， , 即 , 又 为 锐 角 , ∴ .…………8 分 ， . ……………9 分 …………10 分 . …………12 分 18.解：（Ⅰ）抽取的 15 人的成绩茎叶图如图所示， …………3 分 由样本得成绩在 90 以上频率为 ，故志愿者测试成绩在 90 分以上（包含 90 分）的人数约 为 =200 人. …………5 分 （Ⅱ）设抽取的 15 人中，成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者为 , , , , , , 其中 ， 的成绩在 90 分以上（含 90 分）， …………6 分 成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者中随机选 3 名志愿者的不同选法有：{ ， ， }， { ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， } ， { ， ， } ， { ， ， } ， { ， ， } ， { , , },{ , , },{ , , }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }， { ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， },{ ， ， }共 20 种，………8 分 其中选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有：{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ , , },{ , , }， { ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }，{ ， ， }共 12 种， ………… 10 分 ∴选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的概率为 = . …………12 分 19．解：（Ⅰ）证明：因为 底面 ，所以 ……………2 分 因为底面 正三角形， 是 的中点,所以 ……………4 分 因为 ，所以 平面 ………………5 分 因为平面 平面 ,所以平面 平面 …………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 中， ， 所以 ………………………………9 分 所以 ………………………12 分 20.解：（Ⅰ）由题意得 ………… 4 分 （Ⅱ）当直线 轴时，因为直线与圆相切，所以直线 方程为 。 …………5 分 当 时 ， 得 M 、 N 两 点 坐 标 分 别 为 ， ………6 分 当 时，同理 ； …………7 分 当 与 轴不垂直时， 设 ，由 , , ………… 8 分 联立 得 …………9 分 ， ， …………10 分 = ………… 11 分 综上， （定值） ………… 12 分 21. 解：（Ⅰ） ……………1 分 当 上单调递减； 当 .………… 3 分 .…………4 分 …………5 分 综上：当 上单调递减； 当 a>0 时， …………6 分 （Ⅱ）当 由（Ⅰ）得 上单调递减，函数 不可能有两个 零点；………7 分 当 a>0 时，由（Ⅰ）得， 且 当 x 趋近于 0 和正无穷大时， 都趋近于正无穷大，………8 分 故若要使函数 有两个零点，则 的极小值 ，………………10 分 即 ，解得 , 综上所述， 的取值范围是 …………………12 分 22.解：（Ⅰ）将 C 的极坐标方程 化为直角坐标为 … 1 分 直线 的参数方程为 ……………2 分 将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 …………… 3 分 直 线 与 曲 线 有 公 共 点 ， , 得 的取值范围为 .……………5 分 （Ⅱ）曲线 C 的方程 ， 其参数方程为 ……………7 分 为曲线 C 上任意一点， .……………9 分 的取值范围是 ……………10 分 23.解：（Ⅰ）显然 ，……………1 分 当 时，解集为 ， ，无解；……………3 分 当 时，解集为 ，令 ， ， 综上所述， .……………5 分 （Ⅱ）当 时，令 …………7 分 由此可知， 在 单调减，在 和 单调增， 则当 时， 取到最小值 ， ……………8 分 由题意知， ，则实数 的取值范围是 ……………10 分