数学理卷·2018届山西省太原十二中高三1月月考（2018 10页

山西省太原市第十二中学2018届高三1月月考 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设集合，则（ ）‎ A．∅ B． C． D．‎ ‎3.若双曲线的右焦点到渐近线的距离为，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若从区间上任取一个实数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入的则输出的的值分别为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.一位数学老师在黑板上写了三个向量，其中都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“与平行，且与垂直”，乙回答：“与平行”，丙回答：“与不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测的值不可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设不等式组表示的可行域与区域关于原点对称，若点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，异面直线与与所成的角均为，记四棱锥与四棱锥的外接球的半径分别为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，两条距离为的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆 分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设正项数列满足，则这项中所有为整数的项的和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若曲线在处的切线经过，则 ．‎ ‎14.若，则的展开式中的常数项的最小值为 ．‎ ‎15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设，则 ．‎ ‎16.设函数，函数，若，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18. 年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从年下半年的会员中随机调查了个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：‎ 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于分 分到分 不低于分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 ‎（1）根据这个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；‎ ‎（2）以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.‎ ‎（i）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；‎ ‎（ii）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，记评分非常满意的会员的个数为，求的分布列，数学期望及方差.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面 为侧棱的中点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知分别为椭圆的右焦点、右顶点，，点为坐标原点，射线与的交点为，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点（在的上方）. 在轴上的射线分别为，且，当取得最大值时，求.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在上存在零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移个单位长度得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知为曲线上的动点，两点的极坐标分别为，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABADC 6-10:DCDBB 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：由及正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）解：由（1）知.‎ 由余弦定理得或.‎ ‎.‎ 当时，的面积；‎ 当时， 的面积.‎ ‎18.（1）解：由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为 ‎，比较满意的个数为，‎ ‎，‎ 可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和，‎ ‎（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.‎ ‎（ii）的可能取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 由题可知.‎ ‎19.（1）证明：取的中点，连接.‎ 为侧棱的中点，.‎ 四边形为平行四边形，则.‎ 平面平面.‎ 平面平面.‎ ‎（2）解：过点作于平面平面平面.‎ ‎.‎ 取的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则.‎ ‎.‎ 设为平面的法向量.‎ 则 取，则.‎ 易证平面，则为平面的一个法向量.‎ ‎，‎ 由图可知，二面角为钝角.‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1），且，即，‎ 又点在上，则，‎ ‎，且.‎ 故的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 将代入，得，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，又，‎ 此时，，‎ ‎.‎ ‎21.解：（1），‎ 设，‎ 当时，在上递增，，‎ ‎，从而在上递增.‎ ‎.‎ ‎（2）令对恒成立等价于对恒成立.‎ 设，‎ 当时，，则在上递增，.‎ 当时，令得.‎ 令得；令得.‎ 从而，则对上不恒成立.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22.解：（1），‎ 则曲线的直角坐标方程为，‎ 易知曲线为圆心是，半径为的圆，从而得到曲线的直角坐标方程为，‎ 故曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）两点的直角坐标分别为，‎ 依题意可设，‎ 则，‎ ‎，‎ 故的最大值为.‎ ‎23.证明：（1）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎.‎ ‎（2）由得或或，‎ 解得，‎ ‎，即. ‎