2018-2019学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 21页

绝密★启用前 陕西省西安市长安区第一中学 2018-2019 学年高二上学期期 末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．复数 在复平面内对应的点位于( 　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简求出坐标得答案． 【详解】 解：∵ ， ∴复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ），位于第三象限． 故选：C． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题． 2．已知集合 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】 集合 , 集合 , ∴ 故选：B 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，考查指数函数的单调性，比较基础． 3．如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在 [5,10]内的频数为( ) A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出第一个小矩形的面积，即得出这一组的频率，用频率与样本容量 100 相乘得到这 一组的频数． 【详解】 解：如图，第一个小矩形的面积为 0.04×5＝0.2， 样本落在[5,10]内的频数为 0.2×100＝20， 故选：D． 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，矩形的面积表示此组的频率，属于基础题. 4．已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用变量 x 与 y 负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可． 【详解】 解：变量 x 与 y 负相关，排除选项 A，B； 回归直线方程经过样本中心， 把 3， 3.5，代入 2x+9.5 成立，代入 0.4x+5.4 不成立． 故选：C． 【点睛】 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过( ， )点，可能所 有的样本数据点都不在直线上． 5．下列命题中正确的个数是( 　) ①命题“任意 ”的否定是“任意 ； ②命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题； ③若命题 为真，命题 为真，则命题 且 为真； ④命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”. A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【解析】 【分析】 ①根据含有量词的命题的否定进行判断，②根据逆否命题的等价性进行判断， ③根据复合命题真假关系进行判断，④根据否命题的定义进行判断． 【详解】 ①命题“任意 x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“存在 x∈（0，+∞），2x≤1”；故①错误； ②命题“若 ，则 ”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故②错误； ③若命题 p 为真，命题￢q 为真，则 q 为假命题，则命题 p 且 q 为假命题．故③错误； ④命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”正确，故④ 正确； 故选：B 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，复合命题，含有量词的命题 的否定，综合性较强，但难度不大． 6．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析： ，当 时， ，所以切 线方程是 ，整理为 ，故选 B. 考点：导数的几何意义 视频 7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的 秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求 多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为( ) A．35 B．20 C．18 D．9 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i＝﹣1 时，不满足 条件 i≥0，跳出循环，输出 v 的值为 18． 【详解】 解：初始值 n＝3，x＝2，程序运行过程如下表所示： 2 1 xy x = − ( )1,1 2 0x y− − = 2 0x y+ − = 4 5 0x y+ − = 4 5 0x y− − = v＝1 i＝2，v＝1×2+2＝4 i＝1，v＝4×2+1＝9 i＝0，v＝9×2+0＝18 i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出 v 的值为 18． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i，v 的值 是解题的关键，属于基础题． 8．已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明 ABC 都不对． 【详解】 在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中：令底面 A′B′C′D′＝ A、令 m＝AA′，n＝A′B′，满足 m⊥ ，m⊥n，但 n∥ 不成立， A 错误； B、令 m＝AB，n＝AD，满足 m∥ ，m⊥n，但 n⊥ 不成立， B 错误； C、令 m＝AB，n＝BC，满足 m∥ ，n∥ ，但 m∥n 不成立，C 错误； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查立体几何的线面平行、线面垂直的关系，画图处理这方面的选择题，可以 说是事半功倍，本题属于基础题． 9．“ ”是“ ”的（　　 ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必 要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】 解：由 ，解得 x＞﹣1，此时 “ ”不成立，即充分性不成立， 若“ ”，则“ ”成立，即必要性成立， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关 键． 10．在同一直角坐标系中，函数 f（x）＝ （x≥0），g（x）＝ 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 实数 a＞0 且 a≠1，函数 f（x）＝xa（x＞0）是上增函数；当 a＞1 时，函数 f（x）＝x a （x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log ax 的是增函数；当 0＜a＜1 时，函数 f（x）＝x a （x＞0）是增函数，g（x）＝logax 是减函数． 【详解】 解：∵实数 a＞0 且 a≠1， ∴函数 f（x）＝xa（x＞0）是上增函数，故排除 A； ∴当 a＞1 时， 在同一直角坐标系中，函数 f（x）＝xa（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝logax 的是增函 数， 观察四个选项，没有符合条件选项； 当 0＜a＜1 时， ∴在同一直角坐标系中，函数 f（x）＝xa（x＞0）是增函数，g（x）＝logax 是减函数， 由此排除 B 和 C，符合条件的选项只有 D． 故选：D． 【点睛】 本题考查函数图象的判断，考查函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题． 11．从区间 随机抽取 个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成 n 个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，则用随机模拟的方法得 到的圆周率 的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率 π 的近似值． 【详解】 由题意，两数的平方和小于 1，对应的区域的面积为 π•12，从区间[0，1】随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn， yn），对应的区域的面积为 12． ∴ ∴π ． 故选：B． 【点睛】 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生 事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体 积的比值得到． 12 ． 已 知 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 满 足 ． 若 ， 则 ( ) A．-2019 B．0 C．2 D．2019 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得函数 f（x）为周期为 4 的周期函数，f （1）＝2，f（2）＝0，f（3）＝﹣2， f（4）＝0，由此能求出 f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2019）的值． 【详解】 解：∵f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 ． ∴函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，则有 f（﹣x）＝f（x+2）， 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（﹣x）＝﹣f（x），则有 f（x）＝f（x+4）， 则函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， ∵f （0）＝0，f （1）＝2， ∴f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝0， f（3）＝f（1+2）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0， ∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2019） ＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3） ＝504×0+2+0﹣2 ＝0． 故选：B． 【点睛】 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是基础题． 13．已知 ＞ ＞0，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离 心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用离心率乘积为 ，利用 将离心率表示出来，构造一个关于 的方程，然后解出 的值，从而得到双曲线渐近线方程。 【详解】 设椭圆和双曲线的半焦距为 ， 则 ， 所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为： ，即 ，故选 A. 【点睛】 本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于 的 方程从而求出 e，求双曲线渐近线方程则只需构造 的方程，从而解出 ，便可得到渐 近线方程。 14．设直线 分别是函数 图象上点 处的切线， 垂直相交 于点 ，且 分别与 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A．(1,+∞) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(0,1) 【答案】D 【解析】 【分析】 设出点 P1，P2 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 l1 与 l2 的斜率，由两直线 垂直求得 P1，P2 的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A，B 两 点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式， 利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围． 【详解】 解：设 P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2）， 当 0＜x＜1 时，f′（x） ，当 x＞1 时，f′（x） ， ∴l1 的斜率 ，l2 的斜率 ， ∵l1 与 l2 垂直，且 x2＞x1＞0， ∴ ，即 x1x2＝1． 直线 l1： ，l2： ． 取 x＝0 分别得到 A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2）， |AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2． 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x ， ∴ |AB|•|xP| ． ∵函数 y＝x 在（0，1）上为减函数，且 0＜x1＜1， ∴ ，则 ， ∴ ． ∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． 故选：D． 【点睛】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最 值，考查了数学转化思想方法，属中档题． 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 15．一组数据的平均数是 28，方差是 4，若将这组数据中的每一个数据都加上 20，得 到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________． 【答案】48 4 【解析】 【分析】 设该组数据为 x1，x2，…，xn；则新数据为 x1+20，x2+20，…，xn+20；从而分别求平均 数与方差，比较即可． 【详解】 设该组数据为 x1，x2，…，xn；则新数据为 x1+20，x2+20，…，xn+20； ∵ 28， ∴ 20+28＝48， ∵S2 [（x1 ）2+（x2 ）2+…+（xn ）2]， S′2 [（x1+20﹣（ 20））2+（x2+20﹣（ 20））2+…+（xn+20﹣（ 20））2]， ＝S2＝4， 故答案为：48,4． 【点睛】 本题考查了平均数与方差的性质，考查了计算能力，属于基础题. 16．甲、乙两套设备生产的同类产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 80 的样本进行检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总 数为________件. 【答案】1800 【解析】 试题分析：依题意，设在甲生产的设备中抽 件，则在乙生产的设备中抽 件，x50 x30 所以 ，解得 ，故乙设备生产的产品总数为 1800 件. 考点：分层抽样，容易题. 17．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.8，连续两天为 优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率 是________． 【答案】 【解析】 【分析】 设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8×p＝0.6，由此解得 p 的 值． 【详解】 解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8×p＝0.6， 解得 p＝ ， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 18．已知正方体的棱长为 1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正 四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 ，求出一个正四棱锥的高， 再由棱锥体积公式求解． 【详解】 解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体， 48003050 =+ xx 600=x 也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 ． 则其中一个正四棱锥的高为 h ． ∴该多面体的体积 V ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面 半径为________ dm. 【答案】3 【解析】 试题分析：设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即 ， 要 使 用 料 最 省 即 求 全 面 积 的 最 小 值 ， 而 S 全 面 积 =πr2+2πrh= = （法一）令 S=f（r），结合导数可判断函数 f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值 时的半径 （法二）：S全面积=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料 最小时的 r 解：设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π S 全面积=πr2+2πrh= = （法一）令 S=f（r），（r＞0） = 令 f′（r）≥0 可得 r≥3，令 f′（r）＜0 可得 0＜r＜3 ∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则 f（r）在 r=3 时取得最小值 （法二）：S 全面积=πr2+2πrh= = = =27π 当且仅当 即 r=3 时取等号 当半径为 3 时，S 最小即用料最省 故答案为：3 点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是 要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决． 20．（2018 年全国卷Ⅲ文）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________． 【答案】2 【解析】分析：利用点差法进行计算即可。 详解：设 则 所以 所以 取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为 因为 , 因为 M’为 AB 中点， 所以 MM’平行于 x 轴 因为 M(-1,1) 所以 ，则 即 故答案为 2. 点 睛 ： 本 题 主 要 考 查 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 ， 考 查 了 抛 物 线 的 性 质 ， 设 ，利用点差法得到 ，取 AB 中点 , 分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ， 进而得到斜率。 评卷人 得分 三、解答题 21．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3 这三张卡片除标记的数字外完全 相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 （1）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字 不完全相同”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）所有的可能结果（a，b，c）共有 3×3×3＝27 种，一一列举即可，而满足 a+b＝ c 的（a，b，c）有 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b＝c”的概率； （2）所有的可能结果（a，b，c）共有 3×3×3 种，用列举法求得满足“抽取的卡片上 的数字 a，b，c 完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的概率，再用 1 减去此概率，即得所求 【详解】 解：（1）由题意，（a，b，c）所有的可能为： （1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3）， （1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3）， （2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3）， （3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3）， （3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共 27 种． 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b＝c”为事件 A，则事件 A 包括（1，1，2），（1，2， 3），（2，1，3），共 3 种， 所以 P（A） ． 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a+b＝c”的概率为 ． （2）设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B， 则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共 3 种． 所以 P（B）＝1﹣P（ ）＝1 ． 因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 ． 【点睛】 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数： 1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗 漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 22 ． 如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 分别是 的中点． （1）求证: 平面 平面 ； （2）求证: 平面 ； （3）求三棱锥 体积． 1 1 1ABC A B C− 1, 2, 1, ,AB BC AA AC BC E F⊥ = = = 1 1,AC BC ABE ⊥ 1 1B BCC 1C F  ABE E ABC− 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ． 【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与 平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）在三棱柱 中， 底面 ABC，所以 AB， 又因为 AB⊥BC，所以 AB⊥平面 ，因为 AB 平面 ，所以平面 平 面 . （2）取 AB 中点 G，连结 EG，FG， 因为 E，F 分别是 、 的中点，所以 FG∥AC，且 FG= AC， 因为 AC∥ ，且 AC= ，所以 FG∥ ，且 FG= ， 所以四边形 为平行四边形，所以 EG， 又因为 EG 平面 ABE， 平面 ABE， 所以 平面 . （3）因为 =AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以 AB= ， 所以三棱锥 的体积为： = = . 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考 查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算 求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 视频 23．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的 面积为 1. 3 3 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ 1BB ⊥ 1 1B BCC ⊂ ABE ABE ⊥ 1 1B BCC 1 1AC BC 1 2 1 1AC 1 1AC 1EC 1EC 1FGEC 1 //C F ⊂ 1C F ⊄ 1 //C F ABE 1AA 2 2 3AC BC− = E ABC− 1 1 3 ABCV S AA∆= ⋅ 1 1 3 1 23 2 × × × × 3 3 （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值. 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据离心率为 ，即 ， OAB 的面积为 1，即 ，椭圆 中 列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出 的值，求 其乘积为定值. 试题解析：（Ⅰ）由题意得 解得 . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 设 ，则 . 当 时，直线 的方程为 . 令 ，得 ，从而 . 直线 的方程为 . 令 ，得 ，从而 . 所以 . 当 时， ， 所以 . 综上， 为定值. 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定 线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程 中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点， 设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 24．已知函数 . （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： . 【答案】（Ⅰ） ， ………………2 分 xf′（x）=xlnx+1， 题设 xf′（x）≤x2+ax+1 等价于 lnx-x≤a， 令 g（x）=lnx-x，则 g’（x）= 。 ………………4 分 当 00；当 x≥1 时，g’（x）≤0，x=1 是 g（x）的最大值点， g（x）≤g（1）=-1。 ………………6 分 综上，a 的取值范围是[-1,+∞）。 ………………7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即 lnx-x+1≤0； 当 0