2018届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线教学案文学案（全国通用） 54页

专题14 椭圆、双曲线、抛物线 ‎1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．‎ ‎2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．‎ 一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ‎|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)‎ ‎||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)‎ 定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d 标准方程 焦点在x轴上 ＋＝1(a>b>0)‎ 焦点在x轴上 －＝1(a>0，b>0)‎ 焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)‎ 图象 几何性质 范围 ‎|x|≤a，|y|≤b ‎|x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点 ‎(±a,0)，(0，±b)‎ ‎(±a,0)‎ ‎(0,0)‎ 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 ‎(±c,0)‎ 轴 长轴长‎2a，短轴长2b 实轴长‎2a，虚轴长2b 离心率 e＝＝(01)‎ e＝1‎ 准线 x＝－ 通径 ‎|AB|＝ ‎|AB|＝2p 渐近线 y＝±x ‎【误区警示】‎ ‎1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别．‎ ‎2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别．‎ ‎3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．‎ 考点一　椭圆的定义及其方程 例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C．m1 D．mb>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】D 考点二　椭圆的几何性质 例2．【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，选B． ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ 【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.‎ ‎(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；‎ ‎(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)由题意得解得a2＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎|xM||xN|.‎ 因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.‎ 所以y＝|xM||xN|＝＝2.‎ 所以yQ＝或yQ＝－.‎ 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或 ‎(0，－)．‎ 考点三　双曲线的定义及标准方程 例3．【2017课表1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．‎ ‎【变式探究】【2016高考天津文数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎ 【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11 B．‎9‎ C．5 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝‎2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.‎ 考点四　双曲线的几何性质 例4．【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程 表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．‎ ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ A. B．‎2 ‎ C. D. ‎【答案】D 考点五　抛物线的定义及方程 例5．【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 由抛物线方程与双曲线方程联立得 ‎ 因此该双曲线的渐近线方程为 ‎【变式探究】【2016年高考四川文数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】设（不妨设），则 ‎，故选C.‎ ‎【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎【答案】C 考点六　抛物线的几何性质 例6．【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎【答案】B ‎ 【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①‎ 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，‎ 联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.‎ ‎1.【2017课表1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2.【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.‎ ‎3.【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，选B． ‎ ‎4.【2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方）， 为的准线，点在上且,则到直线的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 与抛物线方程 联立解得 ，因此 ‎ ,所以M到直线NF的距离为 ,选C.‎ ‎5.【2017课标1，文12】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎6.【2017课标3，文11】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，‎ 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，‎ 整理可得，即即，‎ 从而，则椭圆的离心率，‎ 故选A.‎ ‎7.【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎8.【2017北京，文10】若双曲线的离心率为，则实数m=__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 ，所以 ，解得 .‎ ‎9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 由抛物线方程与双曲线方程联立得 ‎ 因此该双曲线的渐近线方程为 ‎10.【2017课标3，文14】双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，结合题意可得：.‎ ‎11.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎12.【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）1； （2）．‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， ，x1+x2=4，‎ 于是直线AB的斜率. ‎ ‎（2）由，得.‎ 设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）.‎ 设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|.‎ 将代入得. ‎ 当，即时， .‎ 从而. ‎ 由题设知，即，解得.‎ 所以直线AB的方程为.‎ ‎13.【2017课标II，文20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点在直线上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎.‎ 由得‎-3m-+tn-=1，又由（1）知，故 ‎3+‎3m-tn=0.‎ 所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎14.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:‎ ‎(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） .(II) .‎ ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以.‎ 令，‎ 故，‎ 所以 .‎ 令，所以.‎ 当时， ,‎ 从而在上单调递增，‎ 因此，‎ 等号当且仅当时成立，此时，‎ 所以，‎ 由（*）得 且.‎ 故，‎ 设，‎ 则 ，‎ 所以的最小值为，‎ 从而的最小值为，此时直线L的斜率是0.‎ 综上所述：当， 时， 取到最小值.‎ ‎15.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为.‎ 由题意得解得.‎ 所以.‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ ‎16.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线 的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ F1‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ F2‎ x y ‎(第17题)‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得； ，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．‎ ‎2.【2016年高考四川文数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎【答案】C ‎3.【2016高考新课标2文数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即 ‎，化简得，故双曲线离心率.选A.‎ ‎4.【2016高考浙江文数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C．m1 D．m0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，‎ ‎∴，故双曲线的方程为，故选D.‎ ‎9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，因此 ‎10.【2016高考天津文数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2016高考山东文数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，‎ ‎，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.‎ ‎12.【2016年高考北京文数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.‎ ‎【答案】2‎ ‎13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．焦距为‎2c 故答案应填：。‎ ‎14.【2016高考山东文数】（本小题满分14分） 平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点. （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 ‎【解析】‎ 由，得且，‎ 因此,‎ 将其代入得，‎ 因为，所以直线方程为.‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.‎ ‎15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎【解析】‎ 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 ‎16.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）‎ 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ 因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.‎ 在中，，即，‎ 化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ ‎17.【2016高考新课标3文数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线 分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以. ......5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分 ‎18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；‎ ‎（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设直线被椭圆截得的线段为，由得，‎ 故，．‎ 因此．‎ ‎（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ 由（Ⅰ）知，，，‎ 故，‎ 所以．‎ 由于，，得，‎ ‎19.【2016高考新课标2文数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ ‎20.【2016年高考北京文数】（本小题14分）‎ 已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎21.【2016年高考四川文数】（本小题满分13分）‎ 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.‎ 所以P点坐标为（ ），.‎ 设点A，B的坐标分别为 .‎ 由方程组 可得.②‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ 由②得.‎ 所以 ，‎ 同理，‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数，使得.‎ ‎22. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。‎ ‎（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. ‎ ‎【答案】（1）．（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设．‎ 由题意，，，，‎ ‎1．(2015·陕西，20)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c. ‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ 解　(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.‎ ‎(2)法一　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝，‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝.‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎2．(2015·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.‎ ‎ 3．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意知M在双曲线C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y＝±，所以－0)交于M，N两点，‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．‎ 解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，‎ 或M(－2，a)，N(2，a)．‎ 又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.‎ y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，‎ 即x＋y＋a＝0.‎ 故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.‎ ‎(2)存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.‎ 将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－‎4a＝0.‎ 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－‎4a.‎ 从而k1＋k2＝＋ ‎＝＝.‎ 当b＝－a时，有k1＋k2＝0，‎ 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，‎ 所以点p(0，－a)符合题意.‎ ‎1. 【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎2. 【2014高考广东卷文第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ ‎ A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】，则，，‎ ‎【考点定位】双曲线 ‎3. 【2014高考湖北卷文第9题】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为（），半焦距为，由面积公式得，所以，‎ 令，，为参数，‎ 所以.‎ 所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A.‎ ‎【考点定位】椭圆、双曲线 ‎4. 【2014高考湖南卷第15题】如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得,因为在抛物线上,‎ 所以,故填.‎ ‎【考点定位】抛物线 ‎5. 【2014江西高考文第16题】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】椭圆 ‎6. 【2014辽宁高考文第10题】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以 ‎，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.‎ ‎【考点定位】抛物线 ‎ ‎7. 【2014辽宁高考文第15题】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设M,N的中点坐标为P，,则 ‎【考点定位】椭圆 ‎ ‎8. 【2014全国1高考文第4题】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A. B. ‎3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由已知得，双曲线C的标准方程为．则，，设一个焦点，一条渐近线的方程为，即 ‎，所以焦点F到渐近线的距离为，选A．‎ ‎【考点定位】双曲线 ‎9. 【2014全国1高考文第10题】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】抛物线 ‎ ‎10. 【2014全国2高考文第10题】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则 ‎△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.‎ ‎【考点定位】抛物线 ‎11. 【2014高考安徽卷文第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】椭圆 ‎ ‎12. 【2014高考北京卷文第11题】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，‎ 设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.‎ ‎【考点定位】双曲线 ‎13. 【2014江西高考文第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】抛物线 ‎ ‎14. 【2014山东高考文第10题】 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知及椭圆、双曲线的几何性质得，，所以，，双曲线的渐近线方程为，即，选.‎ ‎【考点定位】椭圆、双曲线 ‎15. 【2014四川高考文第10题】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】抛物线 ‎16. 【2014浙江高考文第16题】设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】有双曲线的方程可知，它的渐近线方程为，与，分别于，联立方程组，解得,,由得，设的中点为，则，与已知直线垂直，故，解得，即，．‎ ‎【考点定位】双曲线 ‎17. 【2014重庆高考文第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ B. C. D.3‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】双曲线 ‎18. 【2014天津高考文第5题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （　　）‎ ‎（A）　　 （B） （C）　 　（D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得在方程中令，得 所求双曲线的方程为，故选A．‎ ‎【考点定位】双曲线 ‎19. 【2014大纲高考文第6题】已知椭圆C：的左、右焦点为、‎ ‎，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ 圆成为，故选A．‎ ‎【考点定位】椭圆 ‎20. 【2014大纲高考文第9题】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】由已知设则由定义得 在中，由余弦定理得 ‎，故选A．‎