高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第73课 课时分层训练17 4页

课时分层训练(十七)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·泰州二中高三月考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ ‎[解]　ρ2＝2ρcos θ，圆ρ＝2cos θ的普通方程为：‎ x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的普通方程为：‎ ‎3x＋4y＋a＝0，又圆与直线相切，所以＝1，解得a＝2或a＝－8.‎ ‎2．(2017·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M(1,2)，倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ＝6cos θ.若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA·MB的值．‎ ‎[解]　直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9.‎ 直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得t2＋2(－1)t－1＝0，‎ 设该方程两根为t1，t2，则t1·t2＝－1.‎ ‎∴MA·MB＝|t1·t2|＝1.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎[解]　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，‎ 即.‎ ‎4．(2017·常州模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围. 【导学号：62172380】‎ ‎[解]　曲线C1：的直角坐标方程为y＝3－2x，与x轴交点为，曲线C2：的直角坐标方程为＋＝1，与x轴交点为(－a,0)，(a,0)，由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，所以a＝.‎ 所以2m＋n＝3sin θ＋3cos θ＝3sin，‎ 所以m＋n的取值范围为.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南通模拟)在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.判断直线l和圆C的位置关系. 【导学号：62172381】‎ ‎[解]　将消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x－3；由ρ＝2sin得ρ＝2＝2(sin θ＋cos θ)，‎ 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，‎ 即x2＋y2＝2y＋2x，‎ ‎∴⊙C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2；‎ 又圆心C到直线l：2x－y－3＝0的距离d＝＝＜，∴直线l和⊙C相交．‎ ‎2．(2017·苏州市期中)已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＋1＝0.‎ ‎(1)求圆C的圆心的极坐标；‎ ‎(2)当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由C：得(x－2)2＋(y－2)2＝r2，‎ ‎∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由l：ρsin＋1＝0得l：x＋y＋1＝0，‎ 从而圆心(2,2)到直线l的距离为d＝＝，‎ ‎∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，AB＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ AB＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由AB＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求PA＋PB.‎ ‎[解]　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎