【数学】辽宁省大连市第一中学2020届高三考前适应性模拟训练试卷（理） 12页

辽宁省大连市第一中学2020届高三考前适应性模拟训练 数学试卷（理）‎ 一.单选题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足 (i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，‎ 则 （ ）‎ A． B.2 B． D.1 ‎ ‎4.配平化学方程式可以通过解方程组来完成，例如，Mg在O2中燃烧生成MgO，可以设方程式为xMg+yO2 zMgO，其中x,y,z均为正整数，且它们的最大公约数为1，由方程式两边的同种原子数目相等可得x,y,z的值。则此方程式中x,y,z的值分别为 ( )‎ A.2, 1, 2 B. 4, 2, 4 C. 6, 4, 11 D.48, 32, 80‎ ‎5.已知 则 ( )‎ A. ln(ln2) B. 2 C.e2 D. ln2‎ ‎6．在中，，则 （ ） ‎ A． B． C． D．2‎ ‎7． 已知是非零实数，则“”是“”的 （ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．斜率为1的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 （ ）‎ A. y=x-2 B. y=x+2 C. y=x-3 D. y=x+3‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎10.在极坐标系Ox中，，，，弧，，所在圆的圆心分别是 ‎，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．曲线M1, M2, M3构成 曲线M,.在曲线M上任取一点P,则|OP|>的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如图所示的等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是 （ ）‎ A．样本中的男生数量多于女生数量 ‎ B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 ‎ D． 样本中多数男生喜欢手机支付 ‎12.已知函数f(x)满足下列说法中正确的是（ ）‎ A.若对于两个不相等的x1,x2,当f(x1)=f(x2)时，必有x1+x2>2e(e为自然对数的底) ‎ B.若g(x)=f(x)-k(x-1)有三个零点，则k的范围是（0,1‎ C..若f(x1)+f(x2)>0(x1≠x2),则x1+x2>0‎ D.函数f(x)图象上不存在两个不同的点A(x1,y1), B(x2,y2),使曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.‎ ‎13. 在等差数列中，若，则= ‎ ‎14. （1+2x）5的展开式中，x2的系数等于_________________.‎ ‎15. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德对圆柱和球的几何特征的一个发现。则该图形中圆柱与球的表面积之比为___________;圆柱与球的体积之比为______________.‎ ‎16. 已知F1,F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，则该椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是______________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 ‎17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎(一)必考题：共60分．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在数列中，，，（且）.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.‎ ‎(1)求证：G是棱PD的中点 ‎ ‎(2)若PA⊥底面ABCDE，且二面角P-DE-A的大小为45°，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治， 二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：‎ ‎（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；‎ ‎（ 2 ）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项目投入研发资金，经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万元、1.14 万元的概率分别为、、 ；对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B 项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0 < p < 1) ，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为x，每投资十万元，x取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元．记对 A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为x1 ，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为x2 ．‎ ①求x1 ，x2 的概率分布列和数学期望 Ex1 ， Ex2 ；‎ ②如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数 (1) 求的单调递增区间 (2) 若函数有两个极值点，（），当>1时恒成立，求实数的取 值范围。‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设F1，F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点，A、B两点分别是椭圆C的上、下顶点，△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF1交椭圆C于D点，且△ADF2的周长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP与直线l：y＝﹣2分别相交于M、N两点，点Q（0，﹣5），试问：△MNQ外接圆是否恒过y轴上的定点（异于点Q）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求直线和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，点A(6,0) ，点B是曲线C上的点，D是AB的中 点，求△PQD面积的最小值 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记函数的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，‎ 求证：．‎ 参考答案 一.单选题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.D 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.‎ ‎13.10 14.40 15.， 16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 ‎17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.（1）证明：∵， ∴，‎ 又，，；∴（，且），‎ 故数列是首项和公比都是2的等比数列； …………………………6分 ‎（2）解：由（1）可得，则（，且），‎ 故 ‎（，且），‎ 当时，满足上式，‎ ‎∴. ………………………………………………………12分 ‎18. (1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.‎ 又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.‎ 因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，‎ 所以AB∥FG.，所以FG∥DE，，因为F为棱PE的中点，所以G是棱PD的中点。…5分 ‎(2)因为PA⊥底面ABCDE，DE⊂平面ABCDE 所以 PA⊥DE. 在正方形AMDE中DE⊥AE ,PA AE=A 所以DE⊥平面PAE, DE⊂平面PAE，于是DE⊥PE.‎ ‎∠PEA为二面角P-DE-A的平面角所以∠PEA=45°,于是PA=AE=2.‎ 由PA⊥底面ABCDE及AM⊥AE建立空间直角坐标系A-xyz，‎ 如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)， ‎＝(1，1，0)．‎ 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．‎ 设直线BC与平面ABF所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.‎ 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.‎ 设点H的坐标为(u，v，w)．‎ 因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)．‎ 即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.‎ 因为n是平面ABF的一个法向量，‎ 所以n·＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，‎ 解得λ＝，所以点H的坐标为.‎ 所以PH＝＝2. ……………………………………12分 ‎19. ‎ ‎20.解：（1）当时，增区间为 当时，增区间为和 …………….5分 ‎（2） ……………………………………………………………….12分 ‎21. 解：（1）因为：△ADF2的周长为4，由定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，|DF1|+|DF2|＝2a，‎ 所以4a＝4，所以a，‎ 又因为△AF1F2是等腰直角三角形，且a2＝b2+c2，所以b＝c＝1，‎ 所以椭圆的方程为：y2＝1； ………………………………………………4分 ‎（2）设P（x0，y0），x0≠0，则y02＝1，‎ 所以直线AP与BP的斜率之积，………….7分 设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为：y＝kx+1，‎ 直线BP的方程：yx﹣1，‎ 由，可得M（，﹣2），同理N（2k，﹣2），‎ 假设△MNQ的外接圆恒过定点T（0，t），t≠﹣5，‎ 则其圆心E（k，），‎ 又|EQ|＝|EN|，所以，解得t＝0，‎ 所以△MNQ的外接圆恒过定点（0，0）． …………………………………12分 ‎22. 解：（1）因为直线的参数方程为（t为参数）．‎ 所以的直角坐标方程为 设，，由题设则 又点M在，即上，‎ 所以，即，‎ 将，代入得曲线C的直角坐标方程为 ‎． ……………………………………………….. 5分 ‎（2） …………………………………………………… 10分 ‎23． 解：（1）等价于 ‎，或，或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．………………………..5分 ‎（2）依题意，‎ 当时等号成立，所以的最小值为3，即，‎ 所以，‎ 又a，b，c是正实数，由均值不等式得 ‎，‎ 当且仅当时取等号．‎ 也即． …………………………………………………10分