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  • 2021-06-11 发布

高一数学(人教A版)必修4能力提升:1-6 三角函数模型的简单应用

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能 力 提 升 一、选择题 ‎1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是(  )‎ A. B.50‎ C. D.100‎ ‎[答案] A ‎2.如图表示电流强度I与时间t的关系I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为(  )‎ A.I=300sin B.I=300sin C.I=300sin D.I=300sin ‎[答案] C ‎[解析] 由图象得周期T=2=,最大值为300,经过点 ,‎ 则ω==100π,A=300,∴I=300sin(100πt+φ).‎ ‎∴0=300sin.‎ ‎∴sin=0,取φ=.‎ ‎∴I=300sin.‎ ‎3.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 因为周期T=,所以==2π,‎ 则l=.‎ ‎4.如图为一半径为‎3 m的水轮,水轮圆心O距离水面‎2 m,已知水轮自点A开始1 min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有(  )‎ A.ω=,A=3 B.ω=,A=3‎ C.ω=,A=5 D.ω=,A=5‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由于每分钟转4圈,故T=min=15 s,‎ ‎∴ω==.又半径为3,故A=3.‎ ‎5.电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则t为(秒)时的电流强度为(  )‎ A.0 B.-‎5 ‎ C.10 D.-10 ‎[答案] A ‎[解析] 由图知,A=10,函数的周期 T=2=,‎ 所以ω===100π,将点代入I=10sin(100πt+φ)得φ=,故函数解析式为I=10sin,再将t=代入函数解析式得I=0.‎ ‎6.设y=f(x)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系:‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎12‎ ‎15.1‎ ‎12.1‎ ‎9.1‎ ‎11.9‎ ‎14.9‎ ‎11.9‎ ‎8.9‎ ‎12.1‎ 经长期观测,函数y=f(x)的图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(  )‎ A.y=12+3sint,t∈[0,24]‎ B.y=12+3sin,t∈[0,24]‎ C.y=12+3sint,t∈[0,24]‎ D.y=12+3sin,t∈[0,24]‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由已知数据,易得y=f(t)的周期T=12.‎ ‎∴ω==.‎ 由已知易得振幅A=3,k=12,‎ 又t=0时,y=12,‎ ‎∴令×0+φ=0得φ=0,‎ 故y=12+3sint,t∈[0,24].故选A.‎ 二、填空题 ‎7.已知x∈(0,2π),cosx=-,则x=________.‎ ‎[答案] 或 ‎8.如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要______s往返一次.‎ ‎[答案] 0.8‎ ‎[解析] 由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往返一次.‎ 三、解答题 ‎9.每当你的心脏跳动时,血压就会升高,而在两次跳动之间,血压就会降低,某人的血压与时间的关系可由函数p(t)=90+20sin120πt来模拟.‎ ‎(1)求此函数的振幅、周期和频率;‎ ‎(2)画出此函数的图象;‎ ‎(3)如果一个人正在锻炼,他的心脏跳动加快了,这会怎样影响p的周期和频率?‎ ‎[解析] (1)振幅为20,周期T==,频率f==60‎ ‎(2)‎ ‎(3)周期变小,而频率变大 ‎10.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.‎ 设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题:‎ ‎(1)求函数p(t)的周期;‎ ‎(2)求此人每分钟心跳的次数;‎ ‎(3)求出此人的血压和血压计上的读数,并与正常值比较.‎ ‎[解析] (1)T===min.‎ ‎(2)f==80次.‎ ‎(3)p(t)max=115+25=140 mmHg,‎ p(t)min=115-25=90 mmHg.‎ 即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg,比正常值高.‎ ‎11.如图,牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<).‎ ‎(1)求这一天最大的温差;‎ ‎(2)求这段曲线的函数解析式.‎ ‎[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是-‎2℃‎,最低温度是-‎12℃‎,‎ 则这一天最大的温差是-2-(-12)=10(℃).‎ ‎(2)由(1)得解得A=5,b=-7.‎ 由图象得函数的周期T=2(14-6)=16,‎ 则=16,解得ω=.‎ 所以y=5sin-7.‎ 由图象知点(10,-7)在函数的图象上,‎ 则-7=5sin-7,‎ 整理得sin=0,‎ 又|φ|<,则φ=-.‎ 则这段曲线的函数解析式是 y=5sin-7(6≤x≤14).‎

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