黑龙江省佳木斯一中2019-2020学年高二3月月考数学（文）试题 10页

文科数学试题卷 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 A．5 B．‎-5 C． D．‎ ‎3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上是单调增函数的是 A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量,,其中，且，则与的夹角是 A． B． C． D．‎ ‎5．为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表．已知在小区的 居民中随机抽取1名，抽到20岁-50岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为 ‎1岁——20岁 ‎20岁——50岁 ‎50岁以上 女生 ‎373‎ X Y 男生 ‎377‎ ‎370‎ ‎250‎ A．24 B．‎16 ‎C．8 D．12‎ ‎6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的 长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为 A． B． C．27 D．18‎ ‎7．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎8．已知数列为等差数列，前n项和为,且则 A．25 B．‎90 ‎ C．50 D．45‎ ‎9．函数的大致图象为 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在三角形ABC中，a,b,c分别是 角A,B,C的 对边，若 则 A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆的两个焦点分别是，过的 直线交椭圆于P,Q两点，若且则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的函数满足时，，‎ 则 A．6 B．‎4 ‎ C．2 D．0‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎14．如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的 切线，令g(x)=xf(x),其中是g(x)的 导数，则______.‎ ‎15．已知双曲线的方程为,双曲线的 一个焦点到一条渐近线的 距离为(c为双曲线的半焦距的 长）则该双曲线的 离心率为_____.‎ ‎16．已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为 _______.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：共60分)‎ ‎17.（12分）‎ 记为等比数列的前项和，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）已知，求的最大 ‎18．(12分)‎ 在直三棱柱中，‎ 是的中点，是上一点.‎ ‎（1）当时，证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎19.（12分）‎ 某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分 “植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.‎ 编号 ‎01‎ ‎02‎ ‎03‎ ‎04‎ ‎05‎ ‎06‎ ‎07‎ ‎08‎ ‎09‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 吸收量(mg)‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？‎ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 ‎1‎ 植株死亡 合计 ‎20‎ ‎（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率.‎ 参考数据：‎ ‎，其中 ‎ ‎20.（12分）‎ 已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段， 的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求面积的最小值.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数错误！未找到引用源。．‎ ‎（1）若函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上是减函数，求实数错误！未找到引用源。的最小值；‎ ‎（2）若存在错误！未找到引用源。，使错误！未找到引用源。成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线．‎ ‎（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与的异于极点的交点为，与的交点为，求．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）正数满足，求证.‎ 数学(文科)试题参考答案 一．选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B C B A D A B C D 二．填空题：13.-5 ；14.0；15.； 16.　 ‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎17.解：（1）设的公比为，由题意得：‎ 所以，即 则-----6分 所以.‎ ‎（2）------9分 当或4时，取得最大值，且.-----12分 ‎18.（1）证明：因为是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,‎ 因为，所以平面，因为平面，所以.-------3分 ‎ 在矩形中，因为，‎ 所以，所以，所以,‎ ‎（或通过计算，得到为直角三角形）‎ 所以，因为，所以平面--------6分 ‎（2）解：因为平面，,‎ 因为是的中点，所以，在中，,‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以.-----12分 ‎19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：‎ ‎ ‎ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 ‎12‎ ‎1‎ ‎13‎ 植株死亡 ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 合计 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎…………………………………………………………………………………………………4分 所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………8分 ‎(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株. ‎ 设事件:抽取的3株中恰有1株存活 记存活的植株为,死亡的植株分别为 则选取的3株有以下情况：，，，，，‎ ‎，，，，‎ 共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以（其他方法酌情给分.）………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.‎ ‎∵，∴抛物线方程为： --------3分 ‎（Ⅱ）设两点坐标分别为，则点的坐标为.‎ 由题意可设直线的方程为.‎ 由，得.‎ ‎.‎ 因为直线与曲线于两点，所以.‎ 所以点的坐标为.由题知,直线的斜率为，同理可得点的坐标为. -------------5分 当时，有，此时直线的斜率.‎ 所以，直线的方程为，整理得.‎ 于是，直线恒过定点；‎ 当时，直线的方程为，也过点.‎ 综上所述，直线恒过定点.---------8分 ‎（Ⅲ）可求得.所以面积.‎ 当且仅当时，“ ”成立，所以面积的最小值为4.-----12分 ‎21．解：已知函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。．‎ ‎（Ⅰ）因为错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上为减函数，故错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立，即当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． ‎ 又错误！未找到引用源。，‎ 故当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。． ‎ 所以错误！未找到引用源。，于是错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。的最小值为错误！未找到引用源。． ………………………5分 ‎（Ⅱ）命题“若存在错误！未找到引用源。使错误！未找到引用源。成立”等价于“当错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。” ． ‎ 由（Ⅰ）知，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。．‎ 故问题等价于：“当错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。” ‎ ‎①当错误！未找到引用源。时，由（Ⅱ）知，错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上为减函数，‎ 则错误！未找到引用源。，故错误！未找到引用源。．……………8分 ‎②当错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，由（Ⅰ）知，函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上是减函数，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，与错误！未找到引用源。矛盾，不合题意．‎ 综上，得实数错误！未找到引用源。的取值范围错误！未找到引用源。． …………………12分 22、 解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程:，………2分 由可得曲线的极坐标方程为，………3分 曲线的极坐标方程为．………5分 ‎（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，………6分 射线与曲线的交点的极径满足，解得，………8分 所以．………10分 22、 解析：， ………2分 若不等式有解，则满足，………3分 解得.∴. ………5分 ‎（2）由（1）知正数满足，‎ ‎∴………7分 ‎………9分 ‎（当且仅当时，取等号.）………10分