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- 2021-06-11 发布
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数学试题(理科)
【本试卷满分150分,考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.命题“若,则 ”的逆否命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.曲线与坐标轴的交点分别是( )
A. B.
C. D.
5.焦点在轴上,且渐近线方程为的双曲线的方程是 ( )
A. B. C. D.
6.已知两条直线和平面,若,则是的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7. 已知命题,命题,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
8.已知命题,命题,若是的充分不必要条件,则
的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
9.已知倾斜角为的直线通过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则弦( )
A. B. C. D.
10.已知直线与椭圆相交于两点,且线段的中点在直线上,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知, 使得,那么命题“”为真命题的充要条件是( )
A.或 B.或 C. D.
12.已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合,过点的直线与抛物线交于点,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若命题,,则命题的否定为______________.
14.过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于两点,过其中一交点向准线作垂线,垂足为,若是面积为的等边三角形,则=____________.
15.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线交双曲线的右支于两点,则的最小值为______________.
16.椭圆,是椭圆的左右焦点,为坐标原点,点为椭圆上一点,,且成等比数列,则椭圆的离心率为 __________ .
三、解答题:本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(10分) 已知命题;关于的方程有实数根.
(1)写出命题的否定,并判断命题的否定的真假;
(2)若命题“”为假命题,求实数的取值范围.
18.(12分)
已知圆C的圆心为(1,1),直线与圆C相切。
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线过点(2,3),且被圆C所截得的弦长为2,求直线的方程。
19.(12分) 已知命题p:方程表示焦点在x轴上的椭圆,命题q:方程表示双曲线。
(1)若p是真命题,求实数k的取值范围;
(2)若“p或q”是真命题,求实数k的取值范围。
20. (12分)在直角坐标系中,曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 曲线的极坐标方程为,与交于点.
(1)写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程,并求;
(2)设为曲线上的动点,求面积的最大值.
21.(12分) 已知动圆过点,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)已知点,,过点的直线交曲线于点,设直线的斜率分别为,求证:为定值,并求出此定值.
22.(12分)已知为圆:上一动点,圆心关于轴的对称点为,点分别是线段,上的点,且 , 。
(1)求点的轨迹方程;
(2)直线与点的轨迹只有一个公共点,且点在第二象限,过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点,求面积的取值范围。
数学试题答案(理科)
1—5 CDABC 6—10 DADBC 11—12 AB
13. 14. 2
15. 16 16.
17.解:(1)命题p的否定:存在x0∈R,|x0|+x0<0.是一个假命题.…………………5分
(2)命题p:∀x∈R,|x|+x≥0是真命题;命题“p∧q”为假命题,∴q为假命题.
因此关于x的方程x2+mx+1=0没有实数根.∴△=m2﹣4<0,解得﹣2<m<2.
∴实数m的取值范围是(﹣2,2).…………………5分
18.解:(1)由题知:,长轴长为6,
渐近线方程是 …………………6分
(2)且则
故 …………………6分
19.解:(1)命题p:“方程表示焦点在x轴上的椭圆”,则,解得.…………………5分
(2)命题q:“方程表示双曲线”,则,解得或.
若“p或q”是真命题,则p,q至少一个是真命题,即一真一假或全为真.……………7分
则或或,…………………10分
所以或或或.
所以或.…………………12分
20. 解:(1)由题意知:
;
其中为圆心是,半径是的圆;…………………3分
为中心是坐标原点,焦点在轴上,长半轴长是,短半轴长是3的椭圆。………6分
(2)当时,,设 ,故,又,所以到的距离 从而当时,取得最小值.…………………12分
21. 解:(1)设圆心,圆过点,且与直线相切,,化简得:,所以动圆圆心的轨迹方程为.………………4分
(2)显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,
由 得 ,
则
设,则 …………………7分
因为,
,…………………11分
所以为定值,且定值为.………………12分
22. 解: (1)连接,因为,所以为的中点,因为,所以,所以点在的垂直平分线上,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上,因为,所以,所以点的轨迹方程为:.…………………4分
(2)由得 …………………5分
因为直线与椭圆相切于点,所以 ,即,解得,
即点的坐标为 ,…………………7分
因为点在第二象限,所以,所以,
所以点的坐标为,设直线与垂直交于点,
则是点到直线的距离,且直线的方程为,
所以
,…………………10分
当且仅当,即时,有最大值,所以,即面积的取值范围为.…………………12分