2017-2018学年山西省陵川第一中学校高二上学期期末测评数学（文）试题（解析版） 12页

‎2017-2018学年山西省陵川第一中学校高二上学期期末测评数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 120° D. 135°‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由直线，可得直线的斜率为，即，则，故选D．‎ ‎2．已知命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，故选.‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，其焦点在轴上，虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为双曲线的渐近线方程为，且焦点在轴上，所以，即，‎ ‎ 由双曲线的虚轴长为，即，所以，‎ ‎ 又由，所以焦距为，故选D．‎ ‎4．若函数，则等于（ ）‎ A. -3 B. 3 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由，所以，‎ ‎ 令，则，解得，故选A．‎ ‎5．“”是“方程”表示椭圆的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：若成立，，未必是椭圆，当表示圆，所以充分性不成立；若表示椭圆，则必有，所以必要性成立，故选B．‎ ‎【考点】椭圆方程；充要条件．‎ ‎6．已知函数，则的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由函数，函数的定义域为 ‎ 则，‎ 令，即且，解得，‎ 所以函数的单调递增区间为，故选B．‎ ‎7．已知圆与圆无公切线，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，圆的圆心坐标为，半径为，‎ 圆的圆心坐标为，半径为，‎ 因为两圆无公切线， 则两圆的位置关系为两个圆内含，‎ ‎ 则圆心距，则，即，‎ ‎ 所以的取值范围是，故选D．‎ ‎8．已知， ：对于任意的恒成立， 成立是成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】对于， ；对于，当时，成立.当时， ，解得.故.所以是的充分不必要条件.‎ ‎9．设分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：‎ ‎①三棱锥的体积为定值； ②异面直线与所成的角为45°；‎ ‎③平面； ④直线与平面所成的角为60°.‎ 其中正确的命题为（ ）‎ A. ①②④ B. ②③ C. ①② D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意得，如图所示，‎ ‎ ①中，三棱锥的体积的为，所以体积为定值；‎ ‎②中，在正方体中，，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即，所以这正确的；‎ ‎③中，由②可知，直线与不垂直，所以面不成立，所以是错误的；‎ ‎④中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为，所以不正确，故选C．‎ ‎10．为双曲线右支上一点，分别为的左、右焦点，，，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，根据双曲线的定义可得，‎ ‎ 因为，解得，，‎ ‎ 又由，可得，即，‎ 即，故选C．‎ ‎11．抛物线与直线相交于两点，为上的动点，且满足，则面积的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由方程组，得，所以，‎ ‎ 则点到直线的距离为，其中，‎ ‎ 当时，距离取得最大值，此时最大值为，‎ ‎ 所以的最大面积为，故选A．‎ ‎ 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解答中涉及到直线与抛物线的交点坐标的求解，点到直线的距离公式和三角形的面积公式等知识点的应用，其中解答中正确理解点满足，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎12．已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由成立，得，‎ ‎ 设，，则 ‎ 则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；‎ ‎ 且，‎ ‎ 使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解，‎ ‎ 则，即，即，‎ ‎ 所以，所以实数得取值范围是，故选B．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，则，所以，‎ ‎ 所以在点处的切线方程为，即．‎ ‎14．若函数在区间上递增，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，则，其中，‎ ‎ 要使得在区间上递增，则在区间上恒成立，‎ ‎ 即，即在上恒成立，所以．‎ ‎15．如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，根据给定的三视图，可得该几何体表示底面是边长为的正方形，高为的四棱锥，其该四棱锥可补成一个正方体，其中正方体的外接球和该四棱锥的外接球是同一个球，其中正方体的对角线长为，即，‎ ‎ 所以该球的表面积为．‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.‎ ‎16．已知抛物线与直线相交于两点，则（为坐标原点）的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，设点，则，‎ ‎ 所以的最小值为．‎ ‎ 点睛：本题考查了抛物线方程的应用和二次函数的性质的应用，其中解答中涉及到平面向量的数量积的运算和二次函数的图象与性质，其中根据抛物线的方程，设出点的坐标，利用向量的数量积的运算，转化为的函数是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．‎ 三、解答题 ‎17．已知，设：指数函数在实数集上为减函数， ，使得不等式恒成立.若是真命题，且是假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】【试题分析】依题意，解得.利用分离常数法求得命题的，两者取交集求得.‎ ‎【试题解析】‎ 当真时，∵函数在上为减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴当真时， .‎ 当真时， ， ，‎ 在为单调递增函数，∴.‎ 由真假， 即.‎ ‎∴综上所述， 的取值范围是.‎ ‎18．已知圆过点，，.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若为圆上的动点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）25.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面几何知识可知，所求圆心为，半径，即可得到圆的方程；‎ ‎（2）由的方程为，可得过圆心，且，进而得到面积的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由平面几何知识可知，所求圆心为，半径，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎（2）的方程为，‎ ‎∵过圆心，.‎ 当到直线的距离为5时，面积最大，‎ 此时.‎ ‎19．已知函数，‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）,．（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：由题意知函数的定义域为，.‎ ‎（1）由，，得，进而得到切线方程，即可求得的值；‎ ‎（2）由，，分和分类讨论，即可求得函数的极值．‎ 试题解析：‎ 由题意知函数的定义域为，.‎ ‎（1），，∴.‎ ‎∴在点处的切线方程为，即，∴．‎ ‎（2）由，可知：‎ ‎①当时，，函数为上的增函数，函数无极值．‎ ‎②当时，由，解得.‎ 又当时，；当时，.‎ 从而函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值.‎ 综上，当时，函数无极值；‎ 当时，函数在处取得极大值，无极小值.‎ ‎20．直三棱柱中，，四边形是边长为2的正方形，为侧棱的中点.‎ ‎（1）若，求几何体的体积；‎ ‎（2）若平面平面，求的长.‎ ‎【答案】（1）4;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于几何体是四棱锥，其底面为正方形，点到平面的距离等于长，利用体积公式，即可求解几何体的体积；‎ ‎（2）由题意，得平面平面，得到为等腰直角三角形，再根据平面平面时，解得的长．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由于几何体是四棱锥，其底面为正方形，‎ 点到平面的距离等于长，‎ 体积.‎ ‎（2）∵平面，∴．‎ ‎∴只要，则平面平面．‎ 只要为等腰直角三角形即可.‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴若平面平面时，.‎ ‎21．已知椭圆过点，且的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与相交于两点，且，求的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）当为轴时，可验证，也符合条件，当不为轴时，设直线的方程为，‎ ‎ 联立方程组，得到，计算，即可求得的值，得到直线的方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）当为轴时，可验证，也符合条件.‎ 当不为轴时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得 ‎，‎ 设，，则，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 解得．‎ ‎∴直线的方程为或．‎ 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，得到，得单调递减，求得函数的最小值，即可作出证明；‎ ‎（2）设，得，得到函数的单调性，分和分类讨论，得到当时，对恒成立，即可得到实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：，‎ 当时，，单调递减.‎ ‎.‎ ‎（2）解：设，，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以，当时，∴.‎ ‎①当，即时，，‎ ‎∴.∵，∴.‎ 故当时，，对任意的恒成立.‎ ‎②当时，即，在上单调递减，‎ ‎.‎ ‎∵，且，∴.‎ 故当时，对恒成立．‎ 综上，.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．‎