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- 2021-06-11 发布
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联盟三模理科数学 参考答案
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C
6.B 7.D 8.B 9.B 10.D
11.C 12.D
13.(10 ,3 )+ 14. 4
9 15.②③④ 16.1
17.解:(1)因为 4c = , 2b = ,所以 1cos 24
bC c==.--------- 2 分
由余弦定理得
2 2 2 2 4 16 1cos 2 4 4
a b c aC ab a
+ − + −= = = ,
所以 4a = ,即 4BC = , -------- 4 分
在 ACD 中, 2CD = , 2AC = ,
所以 2 2 2 2 cos 6AD AC CD AC CD ACD= + − = ,所以 6AD = .-------- 6 分
(2)因为 AE 是 BAC 的平分线,
所以
1 sin2 21 sin2
ABE
ACE
AB AE BAES AB
S ACAC AE CAE
= = =
,-------- 8 分
又 ABE
ACE
S BE
S EC
= ,所以 2BE
EC = ,
所以 14
33CE BC==, 422 33DE = − = ,-------- 10 分
又因为 1cos 4C = ,所以 2 15sin 1 cos 4CC= − = ,
所以 1 15sin26ADES DE AC C = = . -------- 12 分
18. 解:连接 BD 交 AC 于 O,则 BD⊥AC,连接 A1O
在△AA1O 中,AA1=4,AO=2,∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°= 32
∴AO2+A1O2=AA12
∴A1O⊥AO,由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,
第 2 页,总 6 页
所以 A1O⊥底面 ABCD
∴以 OB、OC、OA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则
)32,0,0()0,0,32()0,2,0()0,0,32()0,2,0( 1ADCBA −− …………2 分
(Ⅰ)由于 )0,0,34(−=BD , )32,2,0(1 =AA )0,2,32(=AB
则 01 = BDAA
∴BD⊥AA1……………………4 分
(Ⅱ)设 ⊥平面 AA1D 则
得到 ……………………5 分
同理,平面 BAA1 的法向量 )1,3,1(1 −=n ……………………6 分
5
3,cos
21
21
21
−== nn
nnnn ……………………7 分
由图可知成钝角,所以二面角 D—A1A—B 的平面角的余弦值是 5
3− ………………8 分
(Ⅲ)假设在直线 CC1 上存在点 P,使 BP//平面 DA1C1
设 ,则 )32,2,0(),2,( =− zyx
得 )32,22,0( +P )32,22,32( +−=BP ……………………9 分
设 ,则 设
得到 ……………………10 分
又因为 平面 DA1C1
则 ·
即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1C=CP……………………12 分
(或作延长线,证明)
19.(1)由题意,当投掷骰子出现 1、4 时,学号为 1 的同学可以上 2 阶楼梯,概率为 1
3 ,
当投掷骰子出现其他点数时,学号为 1 的同学可以上 1 阶楼梯,概率为 2
3 ,-------- 2 分
由题意 2,3,4X = ,
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所以 ( ) 2 2 42 3 3 9PX= = = , ( ) 1
2
2 1 43 3 3 9P X C= = = , ( ) 1 1 14 3 3 9PX= = = ,-------- 4 分
所以 X 的分布列为:
X 2 3 4
P 4
9 1
9
-------- 5 分
(2) 1P 表示学号为 3 的小朋友能站在第 1 阶楼梯的概率,
根据投掷骰子的规则,若出现点数为 3 或 6,则他直接站在第 2 阶楼梯,否则站在第 1 阶楼梯.
故 1
2
3P = ,同理可得:
2
2
2 1 7
3 3 9P = + =
,
3
1
32
2 2 1 20
3 3 3 27PC= + =
, -------- 7 分
由于学号为 3 的小朋友能够站在第 n 阶楼梯,有两种可能:
从第 2n− 阶楼梯投掷点数为 3 或 6 直接登 2 个台阶上来,
或从第 1n − 阶楼梯只登 1 个台阶上来.
根据骰子投掷规则,登两阶的概率是 1
3 ,登一阶的概率是 2
3 ,
故 12
21(333n n nP P P n−−= + 且 *)nN (*)
将(*)式可变形为 ( )( )1 1 2
1 33n n n nP P P P n− − −− = − − ,-------- 9 分
从而知:数列 1nnPP−− 是以 21
1
9PP−=为首项,以 1
3− 为公比的等比数列,
则有
2
1
1 1 1
9 3 3
nn
nnPP
−
−
− = − = −
.
进而可得:当 2n 时, ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n nP P P P P P P P− − −= − + − + + − +
121 1 1 2
3 3 3 3
nn− = − + − + + − +
1
1
111932 3 1113 4 31 3
n
n
−
+
−− = + = − −+
; -------- 11 分
当 1n = 时,
2
1
3 1 214 3 3P
= − − =
;所以 ( )
1
*31143
n
nP n N
+= − −
. -------- 12 分
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20.(1)当 0a ,由 ( )' af x x x=+,令 ( )'0fx= ,∴ xa=−,-------- 2 分
列表得:
x ( )0, a− a− ( ),a− +
( )'fx - 0 +
( )fx 减函数 极小值 增函数
这时 ( ) ( )min ln2
af x f a a a= − = − + − .-------- 4 分
∵ 0x ,使 ( ) 0fx 成立,∴ ln 02
a aa− + − ,∴ae− ,
∴ a 的范围为( , e− − .-------- 6 分
(2)因为对 1,xa , ( ) ( )( )11'0x x agx x
− − −=,所以 ( )gx在 1, a 内单调递减,
所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2
12
111 ln22g x g x g g a a a a− − = − − . ----------- 8 分
要证明 ( ) ( )121g x g x−,只需证明 211ln 122a a a− − ,即证明 13ln 022aaa− − .
令 ( ) 13ln22h a a a a= − − , ( )
2
2
1 1 3 3 1 1 1'02 2 2 3 3ha a a a
= − + = − +
, ----------- 10 分
所以 在 ( 1,ae 是单调递增函数,
所以 ( ) ( ) ( )( )313102 2 2
eeeh a h e ee
−+ = − − = ,故命题成立. ----------- 12 分
21.(1)由题意得 22
2 2 2
6
3
33144
c
a
ab
a b c
=
+=
=+
, --------------- 2 分
解得
2
2
3
1
a
b
=
=
,
所以椭圆C 的方程为
2
2 13
x y+=; --------------------- 4 分
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(2)由题意可知,直线 MN 的斜率显然存在,
设直线 的方程为 ( )0y kx m m= + , ( )11,M x y , ( )22,N x y ,
由
2
2 13
x y
y kx m
+=
=+
得( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = ,
( )( ) ( )2 2 2 2 2 236 4 3 1 3 3 12 3 1 0k m k m k m = − + − = + − ①
所以
12 2
2
12 2
6
31
33
31
kmxx k
mxx k
+ = −+ − = +
,
所以 ( )1 2 1 2 2
22 31
my y k x x m k+ = + + = + , ------------------- 7 分
因为OM ON OA+= ,所以
12 2
12 2
63
3 1 2
23
3 1 2
kmxx k
myy k
+ = − = +
+ = = +
,
所以 1
3k =− ,代入①得 2 3 2 3
33m− 且 0m , -------------------- 9 分
所以 ( )2
1 2 1 2 1 2
11 422MONS m x x m x x x x= − = + −△
( )22 2
2
12 3 1 3 4 31
2 3 1 4
km mmm k
+− −==+
( )22 223 3 4 3 3 3 4 3 3
4 4 2 2
mm mm− +−= = ,-------------- 11 分
当且仅当 223 4 3mm=− ,即 6
3m = 时上式取等号,此时符合题意,所以直线 的方程为
16
33yx= − . ---- -------------------- 12 分
22.(1)∵曲线 1C 的普通方程为:
1
3
1
2
2 =+ yx
,又 cosx = , siny = 代入:∴
1sin3cos 2222 =+ , -------- -------- 2 分
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∴曲线 1C 的极坐标方程:
22 sin3cos
1
+
=
,
∴曲线 2C 的极坐标方程: cos2= . --------------------- 4 分
(2)∵已知 2ON OM= ,∴ 224NM= ,
22
2
sin3cos
14cos4 +=
,
01cos3cos2 24 =+− ,且 00 2
, --------------------- 6 分
∴解得:
2
1cos2 =
,
2
2cos =
,
2
2sin =
.
点 到l 的距离
2
2
2
21sin22
=== OChc
. --------------------- 8 分
∴ 2MC N 的面积为: ( )2 2 2
11
22NC M C N M CS NM h h = = −
=.
4
1
sin3cos
1cos22
1
222
=
+
− Ch
--------------------- 10 分
23.解:(1)当 1=a 时,
−−−−−
−
3)31(12
2
1
xx
x
或
−−−+
−
3)31(12
3
1
2
1
xx
x
或
−−−+
3)13(12
3
1
xx
x
-------------- 3 分
即
2
11 −− x
或
3
1
2
1 − x
或
53
1 x
--------------------- 4 分
不等式的解集为: (-1,5) --------------------- 5 分
(2)由 43)( + xaxf 得:
4313
12
++−
+ xx
xa
--------------- 6 分
由 1234313 +++− xxx ,得:
3
1
4313
12 ++−
+
xx
x ------------ 8 分
得
3
1a
(当且仅当
3
1x
或
3
4−x
时等号成立),--------------- 9 分
故 a 的最小值为
3
1 . ------------ 10 分