2019年高考数学高分突破复习课件专题二 第2讲 37页

第 2 讲　数列求和及综合应用 高考定位　 1. 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下； 2. 在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透 . 解　 (1) 因为 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) a n ＝ 2 n ， ① 故当 n ≥ 2 时， a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 3) a n － 1 ＝ 2( n － 1) ， ② 真 题 感 悟 又 S 2 n ＋ 1 ＝ b n b n ＋ 1 ， b n ＋ 1 ≠0 ，所以 b n ＝ 2 n ＋ 1. 考 点 整 合 2. 数列求和 3. 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题 . 解 　 (1) 因为 a n ＝ 5 S n ＋ 1 ， n ∈ N * ，所以 a n ＋ 1 ＝ 5 S n ＋ 1 ＋ 1 ， (2) b n ＝－ 1 － log 2 | a n | ＝ 2 n － 1 ，数列 { b n } 的前 n 项和 T n ＝ n 2 ， 因此 { A n } 是单调递增数列， 探究提高　 1. 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ，常用思路是：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 2. 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ( p ≠1 ， q ≠0) ，可构造一个新的等比数列 . (1) 解　 2( S n ＋ 1) ＝ ( n ＋ 3) a n ， ① 当 n ≥ 2 时， 2( S n － 1 ＋ 1) ＝ ( n ＋ 2) a n － 1 ， ② ① － ② 得， ( n ＋ 1) a n ＝ ( n ＋ 2) a n － 1 ， 热点二　数列的求和 考法 1 　分组转化求和 【例 2 － 1 】 (2018· 合肥质检 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S 4 ＝ 24 ， S 7 ＝ 63. ( 1) 求数列 { a n } 的通项公式； ( 2) 若 b n ＝ 2 a n ＋ ( － 1) n · a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 因此 { a n } 的通项公式 a n ＝ 2 n ＋ 1. (2) ∵ b n ＝ 2 a n ＋ ( － 1) n · a n ＝ 2 2 n ＋ 1 ＋ ( － 1) n ·(2 n ＋ 1) ＝ 2×4 n ＋ ( － 1) n ·(2 n ＋ 1) ， 探究提高　 1. 在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 的奇偶进行讨论 . 最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2. 分组求和的策略： (1) 根据等差、等比数列分组； (2) 根据正号、负号分组 . (1) 证明　 ∵ S n ＝ 2 n 2 ＋ 5 n ， ∴ 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 4 n ＋ 3. 又当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 7 也满足 a n ＝ 4 n ＋ 3 . 故 a n ＝ 4 n ＋ 3( n ∈ N * ). ∴ 数列 {3 a n } 是公比为 81 的等比数列 . (2) 解　 ∵ b n ＝ 4 n 2 ＋ 7 n ， 探究提高 　 1. 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项 . 2. 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 . 解　 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ( q >0) ， 所以 a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ 3 n . (2) 由 (1) 得 b n ＝ log 3 3 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 解　 (1) 设 { a n } 的公差为 d ，由题设 解之得 a 1 ＝ 1 ，且 d ＝ 1 . 因此 a n ＝ n . 探究提高　 1. 一般地，如果数列 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 { b n } 的公比，然后作差求解 . 2. 在写 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，以便下一步准确地写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . 解　 (1) 由题意知，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 6 n ＋ 5. 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 11 ，符合上式 . 所以 a n ＝ 6 n ＋ 5. 设数列 { b n } 的公差为 d ， 所以 b n ＝ 3 n ＋ 1. 又 T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ … ＋ c n ， 得 T n ＝ 3×[2×2 2 ＋ 3×2 3 ＋ … ＋ ( n ＋ 1)×2 n ＋ 1 ] ， 2 T n ＝ 3×[2×2 3 ＋ 3×2 4 ＋ … ＋ ( n ＋ 1)×2 n ＋ 2 ]. 两式作差，得 － T n ＝ 3×[2×2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1 － ( n ＋ 1)×2 n ＋ 2 ] 所以 T n ＝ 3 n ·2 n ＋ 2 . ∵ a n ＋ 1 ＝ f ′( a n ) ，且 a 1 ＝ 1. ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 则 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， 因此数列 { a n } 是公差为 2 ，首项为 1 的等差数列 . ∴ a n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1. 等比数列 { b n } 中， b 1 ＝ a 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ a 2 ＝ 3 ， ∴ q ＝ 3 . ∴ b n ＝ 3 n － 1 . 又 n ∈ N * ， ∴ n ＝ 1 ，或 n ＝ 2 故适合条件 T n ≤ S n 的所有 n 的值为 1 和 2. 探究提高 　 1. 求解数列与函数交汇问题注意两点： (1) 数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集 ( 或它的有限子集 ) ，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件 . 2. 数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 . 解 　 (1) 由已知 S n ＝ 2 a n － a 1 ， 有 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ，即 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2). 从而 a 2 ＝ 2 a 1 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＝ 4 a 1 . 又因为 a 1 ， a 2 ＋ 1 ， a 3 成等差数列，即 a 1 ＋ a 3 ＝ 2( a 2 ＋ 1) ， 所以 a 1 ＋ 4 a 1 ＝ 2(2 a 1 ＋ 1) ，解得 a 1 ＝ 2 ， 所以数列 { a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列 ，故 a n ＝ 2 n . 即 2 n >1 000 ，又 ∵ n ∈ N * ， 因为 2 9 ＝ 512<1 000<1 024 ＝ 2 10 ，所以 n ≥ 10 ， 1. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型：等差数列 { a n } 乘以等比数列 { b n } 对应项得到的数列 { a n · b n } 求和 . (2) 步骤： ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 . ② 把两个和的形式错位相减 . ③ 整理结果形式 . 2. 裂项求和的常见技巧 3. 数列与不等式综合问题 (1) 如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用； (2) 如果是解不等式，注意因式分解的应用 .