• 6.86 MB
  • 2021-06-11 发布

2019年高考数学高分突破复习课件专题二 第2讲

  • 37页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第 2 讲 数列求和及综合应用 高考定位  1. 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下; 2. 在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透 . 解  (1) 因为 a 1 + 3 a 2 + … + (2 n - 1) a n = 2 n , ① 故当 n ≥ 2 时, a 1 + 3 a 2 + … + (2 n - 3) a n - 1 = 2( n - 1) , ② 真 题 感 悟 又 S 2 n + 1 = b n b n + 1 , b n + 1 ≠0 ,所以 b n = 2 n + 1. 考 点 整 合 2. 数列求和 3. 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题 . 解   (1) 因为 a n = 5 S n + 1 , n ∈ N * ,所以 a n + 1 = 5 S n + 1 + 1 , (2) b n =- 1 - log 2 | a n | = 2 n - 1 ,数列 { b n } 的前 n 项和 T n = n 2 , 因此 { A n } 是单调递增数列, 探究提高  1. 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ,常用思路是:一是利用 S n - S n - 1 = a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为 S n 的递推关系,先求出 S n 与 n 之间的关系,再求 a n . 2. 形如 a n + 1 = pa n + q ( p ≠1 , q ≠0) ,可构造一个新的等比数列 . (1) 解  2( S n + 1) = ( n + 3) a n , ① 当 n ≥ 2 时, 2( S n - 1 + 1) = ( n + 2) a n - 1 , ② ① - ② 得, ( n + 1) a n = ( n + 2) a n - 1 , 热点二 数列的求和 考法 1  分组转化求和 【例 2 - 1 】 (2018· 合肥质检 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 4 = 24 , S 7 = 63. ( 1) 求数列 { a n } 的通项公式; ( 2) 若 b n = 2 a n + ( - 1) n · a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 因此 { a n } 的通项公式 a n = 2 n + 1. (2) ∵ b n = 2 a n + ( - 1) n · a n = 2 2 n + 1 + ( - 1) n ·(2 n + 1) = 2×4 n + ( - 1) n ·(2 n + 1) , 探究提高  1. 在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数 n 的奇偶进行讨论 . 最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2. 分组求和的策略: (1) 根据等差、等比数列分组; (2) 根据正号、负号分组 . (1) 证明  ∵ S n = 2 n 2 + 5 n , ∴ 当 n ≥ 2 时, a n = S n - S n - 1 = 4 n + 3. 又当 n = 1 时, a 1 = S 1 = 7 也满足 a n = 4 n + 3 . 故 a n = 4 n + 3( n ∈ N * ). ∴ 数列 {3 a n } 是公比为 81 的等比数列 . (2) 解  ∵ b n = 4 n 2 + 7 n , 探究提高   1. 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项 . 2. 消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项 . 解  (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ( q >0) , 所以 a n = a 1 q n - 1 = 3 n . (2) 由 (1) 得 b n = log 3 3 2 n - 1 = 2 n - 1 , 解  (1) 设 { a n } 的公差为 d ,由题设 解之得 a 1 = 1 ,且 d = 1 . 因此 a n = n . 探究提高  1. 一般地,如果数列 { a n } 是等差数列, { b n } 是等比数列,求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列 { b n } 的公比,然后作差求解 . 2. 在写 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ,以便下一步准确地写出 “ S n - qS n ” 的表达式 . 解  (1) 由题意知,当 n ≥ 2 时, a n = S n - S n - 1 = 6 n + 5. 当 n = 1 时, a 1 = S 1 = 11 ,符合上式 . 所以 a n = 6 n + 5. 设数列 { b n } 的公差为 d , 所以 b n = 3 n + 1. 又 T n = c 1 + c 2 + … + c n , 得 T n = 3×[2×2 2 + 3×2 3 + … + ( n + 1)×2 n + 1 ] , 2 T n = 3×[2×2 3 + 3×2 4 + … + ( n + 1)×2 n + 2 ]. 两式作差,得 - T n = 3×[2×2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 n + 1 - ( n + 1)×2 n + 2 ] 所以 T n = 3 n ·2 n + 2 . ∵ a n + 1 = f ′( a n ) ,且 a 1 = 1. ∴ a n + 1 = a n + 2 则 a n + 1 - a n = 2 , 因此数列 { a n } 是公差为 2 ,首项为 1 的等差数列 . ∴ a n = 1 + 2( n - 1) = 2 n - 1. 等比数列 { b n } 中, b 1 = a 1 = 1 , b 2 = a 2 = 3 , ∴ q = 3 . ∴ b n = 3 n - 1 . 又 n ∈ N * , ∴ n = 1 ,或 n = 2 故适合条件 T n ≤ S n 的所有 n 的值为 1 和 2. 探究提高   1. 求解数列与函数交汇问题注意两点: (1) 数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集 ( 或它的有限子集 ) ,在求数列最值或不等关系时要特别重视; (2) 解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件 . 2. 数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 . 解   (1) 由已知 S n = 2 a n - a 1 , 有 a n = S n - S n - 1 = 2 a n - 2 a n - 1 ( n ≥ 2) ,即 a n = 2 a n - 1 ( n ≥ 2). 从而 a 2 = 2 a 1 , a 3 = 2 a 2 = 4 a 1 . 又因为 a 1 , a 2 + 1 , a 3 成等差数列,即 a 1 + a 3 = 2( a 2 + 1) , 所以 a 1 + 4 a 1 = 2(2 a 1 + 1) ,解得 a 1 = 2 , 所以数列 { a n } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ,故 a n = 2 n . 即 2 n >1 000 ,又 ∵ n ∈ N * , 因为 2 9 = 512<1 000<1 024 = 2 10 ,所以 n ≥ 10 , 1. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型:等差数列 { a n } 乘以等比数列 { b n } 对应项得到的数列 { a n · b n } 求和 . (2) 步骤: ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 . ② 把两个和的形式错位相减 . ③ 整理结果形式 . 2. 裂项求和的常见技巧 3. 数列与不等式综合问题 (1) 如果是证明不等式,常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用; (2) 如果是解不等式,注意因式分解的应用 .

相关文档