【三维设计】2017届高三数学（理）二轮复习（通用版）课余自主加餐训练 （三）立体几何专练 6页

‎ (三)立体几何专练 ‎1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PA⊥BD.‎ ‎(1)求证：PB＝PD；‎ ‎(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ ‎2．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF.‎ ‎(1)若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF；‎ ‎(2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．‎ ‎3．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1为矩形，AB＝BC＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD 与AB1交于点O，BC⊥AB1.‎ ‎(1)证明：CD⊥AB1; ‎ ‎(2)若OC＝，求二面角ABCB1的余弦值．‎ ‎4．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，‎ 设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD，且使C′D＝.‎ ‎(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB；‎ ‎(2)求二面角AC′DB的余弦值．‎ 答 案 ‎1．解：(1) 证明：连接AC，AC与BD交于点O，‎ 因为底面ABCD是正方形，‎ 所以AC⊥BD且O为BD的中点，‎ 又PA⊥BD，PA∩AC＝A，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 由于PO⊂平面PAC，故BD⊥PO，‎ 又BO＝DO，‎ 故PB＝PD.‎ ‎(2)设PD的中点为Q，‎ 连接AQ，EQ，EQ綊CD＝AF，‎ 所以AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，‎ 因为EF⊥平面PCD，‎ 所以AQ⊥平面PCD，‎ 所以AQ⊥PD，又PD的中点为Q，‎ 所以AP＝AD＝.‎ 由AQ⊥平面PCD，可得AQ⊥CD，‎ 又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD，‎ 所以CD⊥PA，又BD⊥PA，‎ 所以PA⊥平面ABCD.‎ 结合题意可知，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，0，0)，Q，D(0，，0)，P(0，0，)，＝，＝(，0，‎ ‎－)，为平面PCD的一个法向量．‎ 设直线PB与平面PCD所成的角为θ，‎ 所以直线PB与平面PCD所成的角为.‎ ‎2．解：(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN.在矩形CDEF中，点N为EC的中点，‎ 因为M为EA的中点，所以MN∥AC，又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，所以AC∥平面MDF.‎ ‎(2)因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，且DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，‎ 所以DE⊥平面ABCD.‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设DA＝a，DE＝b，则B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)，‎ ‎＝(－a，－a，b)，＝(0，2a，b)，＝(－a，a，0)，因为BE⊥DF，‎ 所以＝(－a，－a，b)·(0，2a，b)＝b2－2a2＝0，b＝a.‎ 设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)，‎ 可得到m的一个解为m＝(1，1，)，注意到平面EAD的一个法向量n＝(0，1，0)，‎ 而cosm，n＝＝，所以平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小为60°.‎ ‎3．解：(1)证明：由△ABB1与△DBA相似，知DB⊥AB1，‎ 又BC⊥AB1，BD∩BC＝B，‎ ‎∴AB1⊥平面BDC，CD⊂平面BDC，∴CD⊥AB1.‎ ‎(2)由于OC＝，BC＝1，在△ABD中，可得OB＝，‎ ‎∴△BOC是直角三角形，BO⊥CO.‎ 由(1)知CO⊥AB1，则CO⊥平面ABB1A1.‎ 以O为坐标原点，OA，OD，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A，B，C，‎ B1，＝，‎ ‎＝，＝，‎ 设平面ABC，平面BCB1的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，‎ ‎∴n1＝(，－1，)，‎ ‎∴n2＝(1，，－2)，‎ ‎∴cosn1，n2＝ ＝－，‎ 又二面角ABCB1为钝二面角，‎ ‎∴二面角ABCB1的余弦值为－.‎ ‎4．解：(1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO，‎ 在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，‎ ‎∵C′D＝，‎ ‎∴C′O2＋DO2＝C′D2，‎ 即C′O⊥OD，‎ 又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，‎ ‎∴C′O⊥平面ABD，‎ ‎∵C′O⊂平面ABC′，‎ ‎∴平面C′AB⊥平面DAB.‎ ‎(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D，‎ ‎∴＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，‎ ‎＝.‎ 设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 即 令z1＝1，则y1＝－1，x1＝，‎ ‎∴n1＝(，－1，1)．‎ 设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 即 令z2＝1，则y2＝1，x2＝，‎ ‎∴n2＝，‎ ‎∴cos＝＝＝，由图可知二面角AC′DB为钝角．‎ ‎∴二面角AC′DB的余弦值为－.‎