云南省曲靖市宣威市民族中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷 8页

云南省曲靖市宣威市民族中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷 一、单项选择（每小题5分，共60分）‎ ‎1、以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）‎ ‎ A.2+i B. C. D.‎ ‎2、若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、“”是“”的( )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4、，若，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5、已知两个单位向量的夹角为60°，向量，则（ ）‎ A． B． C． D．7‎ ‎6、一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损块了一部分，只记得样本中数据在上的频率为0.8，则估计样本内的数据个数为（ ）‎ 分组 频数 A.14 B.15 C.16 D.17‎ ‎7、为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8、下列说法错误的是（ ）‎ A.若命题，使得，则，都有 B.命题“若，则”的逆否命题为假命题 C.命题“若，则”的否命题是：“若，则”‎ D.已知，使得，，都有，则“”为假命题 ‎9、已知，并且成等差数列，则的最小值为（ ）‎ A．2 B．4 C．5 D．9‎ ‎10、函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：‎ ‎（单位：万元）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（单位：万元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎35‎ 若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为 A．42万元 B．45万元 C．48万元 D．51万元 ‎12、已知双曲线 的右顶点为 , 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且 （其中为原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、设集合，．若，则实数______．‎ ‎14、若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则______．‎ ‎15、已知向量，，则向量在向量上的投影为________.‎ ‎16、在区间上随机选取一个实数x，则事件“”发生的概率为_____.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、在正数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝2an﹣1，‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求{an}的通项公式.‎ ‎18、三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）若cosA＝，求sinC的值；‎ ‎（2）若b＝，a＝3c，求三角形ABC的面积．‎ ‎19、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎(1)证明:AE⊥PD;‎ ‎(2)若AB=2,PA=2,求二面角E-AF-C的余弦值.‎ ‎20、已知椭圆的右焦点为F（1，0），且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．‎ ‎21、已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值．‎ ‎22、已知函数在与处都取得极值.‎ ‎（1）求的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1、【答案】A ‎2、【答案】C ‎3、【答案】B ‎4、【答案】D ‎5、【答案】A ‎6、【答案】B ‎7、【答案】B ‎8、【答案】D ‎9、【答案】D ‎10、【答案】B ‎11、【答案】C ‎12、【答案】A 二、填空题 ‎13、【答案】‎ ‎14、【答案】‎ ‎15、【答案】‎ ‎16、【答案】‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（1）1（2）‎ 试题分析：（1）当时,；‎ ‎（2）当时,，即用公式法求解通项公式 ‎【详解】‎ ‎（1）当时,,‎ ‎（2）当时,,即 是首项为1,公比为2的等比数列,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列首项,考查公式法求通项公式,考查等比数列通项公式 ‎18、【答案】（1）50；（2）1人，1人，4人；（3）.‎ 试题分析：（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；‎ ‎（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．‎ ‎（3）设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，列出所有情况，根据古典概型运算公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知，a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50.‎ ‎(2)易知第1，2，3组共有50＋50＋200＝300(人)，‎ 利用分层抽样在300人中抽取6人，‎ 则第1组应抽取的人数为6×＝1，第2组应抽取的人数为6×＝1，‎ 第3组应抽取的人数为6×＝4，所以第1，2，3组应抽取的人数分别为1，1，4.‎ ‎(3)记第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人有15种取法：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)．其中2人都不在第3组的取法为(A，B)，‎ 所以至少有1人在第3组的概率P＝1－＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法，考查对立事件的概率，在考虑问题时，若问题从正面考虑比较麻烦，可以从它的对立事件来考虑．‎ ‎19、【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）根据a2+c2＝b2+ac．由余弦定理求出cosB，cosA，再求解sinA，sinB，根据sinC＝sin（B+A）打开即可求解．（2）由a2+c2＝b2+ac．b，a＝3c，根据余弦定理求解a，c的值，即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由余弦定理，cosB．又B为三角形内角，则B＝．‎ 因为cosA＝，且A为三角形内角，则sinA＝，‎ 故sinC＝sin(B＋A)＝sin(＋A)＝cosA＋sinA＝．‎ ‎（2）由a＝3c，由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB，则7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，则a＝3.面积S＝acsinB＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算．属于基础题．‎ ‎20、【答案】（1）见解析；（2）‎ 试题分析：(1)已知可得为正三角形,由为的中点,得，可得，再由平面,得，由线面垂直的判定得平面，从而可得结论；（2）由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合为平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.‎ 因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,所以AE⊥AD.‎ 因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.‎ 又PA平面PAD,AD平面PAD,PA∩AD=A,‎ 所以AE⊥平面PAD,所以AE⊥PD.‎ ‎(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由E,F分别为BC,PC的中点,易得A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F,所以=(,0,0),=.设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),‎ 则即 取z1=-1,则m=(0,2,-1).‎ 连接BD.易知BD⊥AC,BD⊥PA,又PA∩AC=A,‎ 所以BD⊥平面PAC,即BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一个法向量,易得=(-,3,0),‎ 所以cos===.‎ 结合图形可知,所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21、【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）由点F（1，0）是椭圆的焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线MN的方程为，联立方程，利用韦达定理表示面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，所以，‎ 所以椭圆的标准方程是；‎ ‎（Ⅱ）由题意得，直线MN的方程为，‎ 联立得到，，,‎ ‎,，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆内三角形面积的求法，考查计算能力与转化能力，属于中档题.‎ ‎22、【答案】(1)；(2)的最大值为