四川省射洪县2018-2019学年高二下学期期末英才班能力素质监测数学（理）试题 15页

射洪县高2017级第四期期末英才班能力素质监测 理 科 数 学 第Ⅰ卷（选择题 共36分）‎ 一.选择题。（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，由复数的几何意义即得答案。‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，复数的几何意义应用。‎ ‎2.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因，所以命题为真； 命题为假，所以为真，选B.‎ ‎3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：‎ ‎①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．‎ ‎【详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；‎ 甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；‎ 从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.‎ ‎4.某单位有7个连在一起车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）‎ A. 16 B. 18 C. 32 D. 72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：①分析3辆不同型号的车的停放方法，②利用插空法分析剩余的4个车位中恰有3个连在一起的排法，由分步计数原理计算即可得。‎ ‎【详解】根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，3辆不同型号的车需停放，共有种方法，‎ ‎②，要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起，利用插空法，有种方法，‎ 所以不同的停放方法有种．故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合中捆绑法和插空法的应用。‎ ‎5.已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析：令点，因该双曲线的 渐近线分别是，，‎ 所以，，又 ‎，‎ 所以，选A．‎ 此题可以用特殊位置法解决：令P为实轴右顶点，此时 ‎，选A．‎ 考点：1．双曲线标准方程及其几何性质；2．平面向量的数量积．‎ ‎6.已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为　　‎ A. ， B. C. ， D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由得 ‎ ，‎ ‎②构造函数，得到为偶函数，又当时，，，可得出的单调性，‎ ‎③‎ 即可得，从而解得。‎ ‎【详解】定义在上的函数，，‎ ‎，‎ 令，则 为偶函数 ‎，又当时，，‎ ‎，在，为减函数，且在为增函数 不等式 即 解得，故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性、利用单调性定义解不等式，偶函数性质应用，构造函数是本题的解题难点。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共64分）‎ 二.填空题。（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）‎ ‎7.曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。‎ ‎【答案】或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值．‎ ‎【详解】的导数为，‎ 可得切线的斜率为3，切线方程为，‎ 可得，可得切线与轴的交点为，，切线与的交点为，‎ 可得，解得或。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。‎ ‎8.过抛物线C：的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____。‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．‎ ‎【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为 ‎，‎ 将直线的方程代入抛物线的方程并整理得 ‎，‎ 所以，，所以，，‎ 同理可得，‎ 由基本不等式可知，四边形的面积为 ‎．‎ 当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式应用，意在考查学生数学运算能力。‎ ‎9.已知在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，直线的参数方程是，M（0，），直线与曲线C的公共点为P，，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线的直角坐标方程，把直线的方程化为，代入曲线的直角坐标方程，然后利用参数的几何意义求解．‎ ‎【详解】由曲线的极坐标方程是，得，‎ 即曲线的直角坐标方程为．‎ 由直线的参数方程是，消去参数，可得直线的普通方程为．‎ 化直线的普通方程为参数方程，代入，‎ 得．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，以及参数方程中的几何意义的应用，注意直线参数方程形式必须是标准式。‎ 三.解答题。（本小题共3个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎10.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：‎ 土地使用面积（单位：亩）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 管理时间（单位：月）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ 女性村民 ‎50‎ ‎（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？‎ ‎（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？‎ ‎（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。‎ 参考公式：‎ 其中。临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关．‎ ‎（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】解：依题意：‎ 故 则，‎ 故管理时间与土地使用面积线性相关。‎ ‎（2）依题意，完善表格如下：‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 女性村民 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。‎ ‎（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，‎ 故 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则数学期望为 ‎（或由，得 ‎【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等。‎ ‎11.已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点。‎ ‎（1）求,的值：‎ ‎（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；‎ ‎（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．‎ ‎【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），‎ ‎，解得，＝1，＝1，‎ ‎（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，‎ 联立得，易知△＞0，则 ‎＝＝‎ ‎＝‎ 因为，所以＝1，解得 联立 ，得，△＝8＞0‎ 设，则 ‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。 意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎12.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得函数导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.‎ ‎【详解】（I）． ‎ ‎∴在内单调递减， ‎ ‎∴内恒成立， ‎ 即在内恒成立．‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，即在内为增函数；‎ 当时，，即在内为减函数． ‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，‎ 由（I），知． ‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设， ‎ ‎∴要证明，只需证明． ‎ 即证明，亦即证明． ‎ 令函数．‎ ‎∴，即函数在内单调递减．‎ ‎∴时，有，∴．‎ 即不等式成立． ‎ 综上，得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎