高中数学选修2-2课件1_5_1&1_5_2 59页

1.5 　定积分的概念 1.5.1 　曲边梯形的面积 1.5.2 　汽车行驶的路程 问题 引航 1. 连续函数与曲边梯形的概念分别是什么 ? 2. 曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么 ? 1. 连续函数与曲边梯形的概念 (1) 连续函数：如果函数 y=f(x) 在某个区间 I 上的图象是一条 _________ 的曲线，那么我们就把它称为区间 I 上的连续函数 . (2) 曲边梯形：由直线 x=a ， x=b(a≠b) ， y=0 和曲线 _______ 所 围成的图形 ( 如图阴影所示 ). 连续不断 y=f(x) 2. 曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤 分割→ _________→_____→ 取极限 近似代替 求和 1 ．判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路 程 .( ) (2) 当 n 很大时，函数 f(x)=x 2 在区间 [ ] 上的值，只能用 ( ) 2 近似代替 .( ) (3)m i =i 2 ， =m i =30.( ) 【 解析 】 (1) 错误 . 在求汽车行驶路程的问题中，分割的区间表示的是时间 . (2) 错误 . 可以用 [ ] 上的任意一点处的函数值代替 . (3) 正确 . 答案： (1)×(2)× (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 将区间［ 1 ， 3 ］进行 10 等分需插入 ______ 个分点，第三个区间是 __________. (2) 做直线运动的物体的速度 v=2t(m/s) ，则物体在前 3 s 内行驶的路程为 ______________. (3) 函数 f(x)= _______ 连续函数 ( 填是或不是 ). 【 解析 】 (1) 插入 9 个分点，即可将区间 10 等分 . 第三个区间是［ 1.4 ， 1.6 ］ . 答案： 9 ［ 1.4 ， 1.6 ］ (2) 由于做直线运动的物体的速度为 v=2t(m/s) ，则物体在前 3 s 内行驶的路程为直线 t=0 ， t=3 和 v=2t 围成的三角形的面积： S= ×3×2×3=9. 答案： 9 m (3) 因为 f(x)= 的图象是两支，不是一条连续的曲线，故不是连续函数 . 答案： 不是 【 要点探究 】 知识点 1 曲边梯形的面积 1. 对连续函数与曲边梯形的说明 (1) 连续函数：对于区间 I 上的连续函数 y=f(x) ，从图象上看即连续不断，从定义域上看，即自变量在 I 上取一切实数值，如幂函数 y= 在 R 上不是连续函数，而在区间 (-∞ ， 0) ， (0 ， +∞) 上是连续函数 . (2) 曲边梯形：是由曲线段和直线段所围成的平面图形 . 2. 求曲边梯形面积的思想及注意事项 (1) 思想：利用无限逼近的思想方法， “ 以直代曲 ” 将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似地看成直边求其面积，然后求和即得曲边梯形面积的近似值，对和求极限得面积的精确值 . (2) 注意事项： ①在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分 . ② 当把区间［ 0 ， 1 ］ n 等分时，第 i 个区间左端点的函数值为 f( ) ，右端点的函数值为 f( ). 可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高 . ③ 当 n→+∞ 时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值 . 【 微思考 】 (1) 在区间［ a ， b ］上插入 n 个分点使其等分可得多少个小区间？区间长度为多少？ 提示： 可得 n+1 个小区间；区间长度为 (2) 将曲边梯形进行分割时，是将哪些条边等分的？分割后的小曲边梯形是如何计算面积的？ 提示： 将曲边和曲边所对的边进行等分，分割后的小曲边梯形面积是利用矩形面积近似代替其面积计算的 . 【 即时练 】 1. 在区间［ 0 ， 3 ］内插入 2 014 个分点，则可得 _______ 个小区间，小区间的长度是 _______. 2. 直线 x=1 ， x=2 ， y=0 与曲线 y= (x>0) 围成曲边梯形，将区间［ 1 ， 2 ］ 100 等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是多少？ 【 解析 】 1. 可得 2 015 个小区间，小区间长度为 答案： 2 015 2. 将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为 f(1)=1 ， ，故面积 =1× =0.01. 知识点 2 汽车行驶的路程问题 求变速直线运动的路程的方法 类似于“以直代曲”求曲边梯形的方法，“以不变代变”利用匀速直线运动路程的求法，求变速直线运动的路程 . 即将运动时间进行分割，在无限小时间段上变速可看成匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程 . 【 微思考 】 (1) 经过分割→近似代替→求和→取极限，这样最后得到的路程是否是精确值 ? 提示： 是精确值 . (2) 为求变速运动的汽车在一小时内的运动路程，将一小时时间等分成 100 万份，然后以匀速运动方法求每份上的路程，再求和，这样得到的路程精确吗？ 提示： 不精确，只要份数有限就是近似值 . 【 即时练 】 汽车运动速度与时间的关系为 v(t)=t 2 ，运动时间为 2 小时，将运动时间区间分割为 200 等份，则汽车在第 i 个时间区间上的运动路程是多少 ? 【 解析 】 在第 i 个区间上的运动速度为 ( ) 2 ，运动时间为 ，所以路程 【 题型示范 】 类型一 曲边梯形面积的求法 【 典例 1】 (1) 在求由 x=a ， x=b(a0) ， y=0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间 [0 ， t] 等分成 n 个小区间，则第 i-1 个区间为 ( 　　 ) (3) 求直线 y=0 ， x=1 ， x=2 ，曲线 y=x 2 围成的曲边梯形的面积 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中每个小区间的长度是多少 ? 2. 题 (2) 中第 i-1 个小区间的长度为多少 ? 3. 题 (3) 中应该分割哪个区间 ? 将区间分成多少等份 ? 【 探究提示 】 1. 区间长度为 2. 3. 应分割区间 [1 ， 2] ，分成 n 等份 . 【 自主解答 】 (1) 选 A.n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为 S. 所以 A 正确， B ， C ， D 错误，故应选 A. (2) 选 D. 在［ 0 ， t ］上等间隔插入 n-1 个分点，把区间［ 0 ， t ］等分成 n 个小区间，每个小区间的长度均为 ，故第 i-1 个区间为 [ ] ，故选 D. (3) 分割： 在区间［ 1 ， 2 ］上等间隔地插入 n-1 个点，将区间［ 1 ， 2 ］等分成 n 个小区间： 记第 i 个区间为 [ ](i=1 ， 2 ， … ， n) ， 其长度为 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作： ΔS 1 ， ΔS 2 ， … ， ΔS n ， 显然， 近似代替： 记 f(x)=x 2 ，当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间 [ ] 上，可以认为函数 f(x)=x 2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间 [ ] 上，用小矩形的面积 ΔS′ i 近似地代替 ΔS i ，即在局部小范围内 “ 以直代曲 ” ，则有 ΔS i ≈ΔS′ i =f( ) · Δx=( ) 2 · = (n 2 +2ni+i 2 )(i=1 ， 2 ， … ， n) ① 求和： 由①可推知 从而得到 S 的近似值 S≈S n = 取极限： 可以看到，当 n 趋向于无穷大时，即 Δx 趋向于 0 时， S n = 趋向于 S ，从而有 【 方法技巧 】 由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割 . 在区间 [a ， b] 中等间隔地插入 n-1 个分点，将其等分成 n 个小区间 [x i-1 ， x i ](i=1 ， 2 ， … ， n) ，小区间的长度 Δx i =x i -x i-1 ； 第二步：近似代替， “ 以直代曲 ” . 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值 . 第三步：求和 . 将 n 个小矩形的面积进行求和得 S n . 第四步：取极限 . 当 n→∞ 时， S n →S ， S 即为所求 . 【 变式训练 】 求由直线 x=1 ， x=2 ， y=0 及曲线 围成的图形的面积 S. 【 解析 】 (1) 分割 在区间［ 1 ， 2 ］上等间隔地插入 n-1 个点，将它等分成 n 个小区间： [1 ， ] ， [ ] ， … ， [ ] ， 记第 i 个区间为 [ ](i=1 ， 2 ， … ， n) ，其长度为 Δx= 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ( 如图 ) ，它们的面积分别记作： ΔS 1 ， ΔS 2 ， … ， ΔS n ，则小区边梯形面积的和为 (2) 近似代替 记 f(x)= . 当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间 [ ] 上，可以认为 f(x)= 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f( ) ． 从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间 [ ] 上，用小矩形面积 ΔS i ′ 近似地代替 ΔS i ，即在局部小范围内 “ 以直代曲 ” ，则有 ΔS i ≈ΔS i ′=f( ) = (i=1 ， 2 ， … ， n) ． (3) 求和 小曲边梯形的面积和 从而得到 S 的近似值 S≈S n = (4) 取极限 分别将区间［ 1 ， 2 ］等分成 8 ， 16 ， 20 ， … 等份时， S n 越来越趋向于 S ，从而有 所以由直线 x=1 ， x=2 ， y=0 及曲线 围成的图形的面积 S 为 【 误区警示 】 解答此类题目易错点是： (1) 求区间长度 .(2) 第 i 个区间的端点值 .(3) 忘记取极限 . 【 补偿训练 】 由直线 x=1 ， y=0 ， x=0 和曲线 y=x 3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形面积的近似值 ( 取每个区间的右端点 ) 是 ( ) 【 解析 】 选 D. 类型二 变速直线运动路程的求法 【 典例 2】 (1) 已知某物体运动的速度为 v=t ， t∈[0 ， 10] ，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为 ________. (2) 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 的路程 s=vt. 如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度 v(t)=-t 2 +5( 单位： km/h) ，问它在 0≤t≤2( 单位： h) 这段时间内的路程 S( 单位： km) 是多少 ? 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中每个区间上围成的图形是什么图形 ? 其面积如何求 ? 2. 题 (2) 中求变速直线运动物体的路程，需要通过几步解决 ? 【 探究提示 】 1. 梯形，其面积用对应的矩形面积近似代替计算，求得近似值 . 2. 分割、近似代替、求和、取极限四个步骤 . 【 自主解答 】 (1) 分割后的区间为［ 0 ， 1 ］，［ 1 ， 2 ］，［ 2 ， 3 ］， … ，［ 9 ， 10 ］，每个区间上的面积分别为 s 1 =1×1=1 ， s 2 =2×1=2 ， … ， s 10 =10×1=10. 故路程的近似值为 答案： 55 (2)① 分割 在区间［ 0 ， 2 ］上等间隔地插入 n-1 个点，将区间等分成 n 个小区间： 记第 i 个区间为 [ ](i=1 ， 2 ， … ， n) ， 其长度为 把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作： ΔS 1 ， ΔS 2 ， … ， ΔS n ，显然， ② 近似代替 当 n 很大，即 Δt 很小时，在区间 [ ] 上，函数 v(t)= -t 2 +5 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 ．在每一个小时间段内 “ 以匀速代变速 ” ，则有 ΔS i ≈ΔS′ i = = = (i=1 ， 2 ， … ， n) (i) ③ 求和 由 (i) 得， 从而得到路程 S 的近似值， S≈S n = ④ 取极限 可以看到，当 n 趋向于无穷大，即 Δt 趋向于 0 时， 趋向于 S ，从而有 【 延伸探究 】 在本例题 (1) 中，如果取每个小区间左端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动路程的近似值为多少？ 【 解析 】 每个区间上的面积分别为 s 1 =0×1=0 ， s 2 =1×1=1 ， … ， s 10 =9×1=9 ， 故路程的近似值为 【 方法技巧 】 求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “ 以直代曲 ”“ 逼近 ” 的思想求解 . 求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限 . 应特别注意变速直线运动的时间区间 . 【 变式训练 】 已知一质点的运动速度为 v(t)=6t 2 +4( 单位： m/s) ，求质点开始运动后 5 s 内通过的路程 . 【 解析 】 (1) 分割 在时间区间［ 0 ， 5 ］上等间隔地插入 n-1 个点，将区间等分成 n 个小区间 [0 ， ] ， [ ] ， … ， [ ] ， … ， [ ， 5] ， 其中，第 i(1≤i≤n) 个小区间为 [ ] ， 其区间长度为 每个小时间段内的路程记为 s 1 ， s 2 ， … ， s n . (2) 近似代替 根据题意可得第 i(1≤i≤n) 个小时间段内的路程为 (3) 求和 每个小时间段内的路程之和为 (4) 取极限 当 n→∞ 时， Δs 的极限值就是所求质点运动的路程， 即质点运动的路程为 270 m. 【 补偿训练 】 求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度 v=gt ，求在时间区间［ 0 ， t ］内物体下落的距离． 【 解题指南 】 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 【 解析 】 (1) 分割：将时间区间［ 0 ， t ］分成 n 等份． 把时间［ 0 ， t ］分成 n 个小区间 [ ](i=1 ， 2 ， … ， n) ， 小区间长度 ，在各小区间物体下落的距离记作 Δs i (i=1 ， 2 ， … ， n) ． (2) 近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变 速运动的路程． 在 [ ] 上任取一时刻 ξ i (i=1 ， 2 ， … ， n) ，可取 ξ i 使 v(ξ i )= 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个 小区间上自由落体 Δt= 内所经过的距离可近似表示为 Δs i ≈ (i=1 ， 2 ， … ， n) ． (3) 求和： (4) 取极限： 即在时间区间［ 0 ， t ］内物体下落的距离为 gt 2 . 【 易错误区 】 因计算方法掌握不准导致曲边梯形面积计算错误 【 典例 】 由抛物线 y=x 2 与直线 y=4 所围成的图形的面积为 ________. 【 解析 】 如图，因为 y=x 2 为偶函数，图象关 于 y 轴对称，所以所求图形的面积 应为 y=x 2 (x≥0) 与直线 x=0 ， y=4 所围成的图形面积 S 阴影 的 2 倍， 下面求 S 阴影 . y=x 2 ， 由 y=4 ，得 A 点坐标为 (2 ， 4) ，先求由直线 x=0 ， x=2 ， y=0 x≥0 和曲线 y=x 2 围成的图形的面积 . (1) 分割 将区间［ 0 ， 2 ］ n 等分， 则 Δx= ，取 ξ i = (i=1 ， 2 ， … ， n). (2) 近似代替、求和 (3) 取极限 所以 S 阴影 = ，所以 2S 阴影 = 即抛物线 y=x 2 与直线 y=4 所围成的图形的面积为 答案： 【 常见误区 】 错解 错因剖析 对函数性质掌握不熟或应用意识不强，不能应用函数图象对称性解决问题，认为面积只是右半部分 【 防范措施 】 1. 准确理解曲边梯形的各边 　　一般地，曲边梯形的三条边为直线段 x=a ， x=b ， y=0 ，第四条边为曲线段 y=f(x) ，这是运用分割、近似代替、求和、取极限求曲边梯形面积的标准位置图形 . 如本例中，由直线 x=0 ， x=2 ， y=0 和曲线 y=x 2 围成的图形 . 2. 间接法求阴影部分的面积 　　对于不是标准位置的曲边梯形的面积，通常运用间接法转化为求标准位置的曲边梯形的面积，如本例中的对称思想与间接求面积法是常用的解题方法 . 注意曲边梯形的特殊情形是曲边三角形，求面积时解题过程基本相同 . 【 类题试解 】 已知函数 y=x 2 ， y= 的图象交于 O ， A 两点，求图中阴影部分的面积 . 【 解析 】 函数 y=x 2 ， y= 的图象交于 O(0 ， 0) ， A(1 ， 1) 两 点，利用分割、近似代替、求和、取极限的方法步骤，可求得 由抛物线 y=x 2 与直线 y=0 ， x=1 所围成的曲边三角形的面积 S= ，由于曲线 y=x 2 ， y= 关于直线 y=x 对称，所以曲线 y= 与直线 x=0 ， y=1 所围成的曲边三角形的面积也等于 ，所 以图中阴影部分的面积为