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- 2021-06-11 发布
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第八章 解析几何
第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
2016·四川卷,9
2015·全国卷Ⅰ,20(1)
直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容,一般不单独命题,而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.
分值:3~5分
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴__平行或重合__时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线l倾斜角的范围是__[0,π)__.
2.直线的斜率
(1)定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=__tan_θ__.
(2)计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=____.
3.直线方程的五种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0,y0)
__y-y0=k(x-x0)__
不含直线x=x0
斜截式
斜率k与截距b
__y=kx+b__
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1,y1),(x2,y2)
__=__
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式
截距a与b
__+=1__
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
—
__Ax+By+C=0(A2+B2≠0)__
平面直角坐标系内的直线都适用
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )
(3)当直线l1和l2斜率都存在时,若k1=k2,则l1∥l2.( × )
(4)在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.( × )
(5)任何直线方程都能写成一般形式.( √ )
解析 (1)正确.直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度,不能确定直线的位置.
(2)错误.当直线的倾斜角为90°时,其斜率不存在.
(3)错误.当k1=k2时,两直线可能平行,也可能重合.
(4)错误.当直线与x轴垂直(斜率不存在)时,不能用点斜式方程表示.
(5)正确.无论依据哪种形式求解,最后直线方程都能写成一般形式.
2.直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为( C )
A.30° B.60°
C.150° D.120°
解析 由k=tan α=-,α∈[0°,180°)得α=150°.
3.已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( A )
A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0
C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0
解析 由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.
4.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( A )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
解析 由1=,得m+2=4-m,m=1.
5.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为__4__.
解析 kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
一 直线的倾斜角与斜率
由斜率求倾斜角的范围的注意点
直线的倾斜角范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分k≥0与k<0两种情况讨论.当斜率k∈[0,+∞)时,α∈;当斜率k∈(-∞,0)时,α∈;当斜率不存在时,α=.
【例1】 (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是( B )
A. B. C. D.
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围是__(-∞,-]∪[1,+∞)__.
解析 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,
因为α∈,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].
设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].
又θ∈[0,π),所以θ∈,
即倾斜角的取值范围是.
(2)如图,∵kAP==1,kBP==-,
∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
二 直线方程的求法
求直线方程的注意点
(1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在.
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,
截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,注意分类讨论,判断截距是否为零.
【例2】 根据所给条件求直线的方程.
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
解析 (1)设倾斜角为α,则sin α=(0<α<π),
从而cos α=±,则k=tan α=±.
故所求直线方程为y=±(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0;
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;
当斜率存在时,设为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
由点线距离公式,得=5,解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
三 直线方程的综合应用
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.
(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
【例3】 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
解析 依题意设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
且有A,B(0,2-3k),
∴S△ABO=(2-3k)=
≥=×(12+12) =12.
当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立,
即△ABO的面积的最小值为12.
此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
1.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( B )
A. B.
C.∪ D.∪
解析 直线的斜截式方程为y=-x-,
所以斜率tan α=-,所以-1≤tan α<0,解得≤α<π,
即倾斜角的取值范围是.故选B.
2.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为____.
解析 直线x+y-1=0的斜率为-,
所以与其垂直的直线的斜率k=,故所求直线的倾斜角为.
3.当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为____.
解析 因为2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0),由解得y=,
所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积为×1×=.
又因为k>0,所以k+≥2=2,
故三角形面积的最大值为.
4.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为____.
解析 直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1).
由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-22+.
由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.
易错点 忽略直线方程的适用范围
错因分析:当使用直线方程协助解题时,如果不能确定直线是否与x轴垂直,则需要讨论.
【例1】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点C(2,3)且与圆M交于A,B两点,且=2,求直线a的方程.
解析 ∵圆M的半径r=2,=2,
∴圆心M(1,1)到直线a的距离为1.
当直线a垂直于x轴时,符合题意.
当直线a不垂直于x轴时,
设其方程为y-3=k(x-2),即kx-y+(3-2k)=0,
∴=1,∴k=,
∴y-3=(x-2),即3x-4y+6=0.
综上可知,直线a的方程为x=2或3x-4y+6=0.
【跟踪训练1】 过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__5x+3y=0或x-y+8=0__.
解析 当直线过原点时,直线方程为y=-x,即5x+3y=0;
当直线不过原点时,设直线方程为+=1,即x-y=a,代入点(-3,5),得a=-8,即直线方程为x-y+8=0.
课时达标 第46讲
[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现,或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查.
一、选择题
1.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的范围是( C )
A.[0,π) B.
C. D.∪
解析 当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率k=-.
∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),∴α∈∪.
由上知,倾斜角的范围是,故选C.
2.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( D )
A.k10)个单位,再沿y轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( D )
A. B.-
C. D.-
解析 设P(x,y)是l上任意一点,由题意知Q(x-a,y+a+1)也在直线l上,所以l的斜率为kPQ=,故选D.
6.设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2 = 0 与线段 AB没有交点,则a的取值范围是( B )
A.∪
B.
C.
D.∪
解析 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,
∵kMA==-,kMB==-,
由图可知-a>-且-a<,∴a∈.
二、填空题
7.(2018·黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为__x+2y-2=0或2x+y+2=0__.
解析 设所求直线的方程为+=1,
∵A(-2,2)在直线上,∴-+=1,①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,
∴|a|·|b|=1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解.
故所求的直线方程为+=1或+=1,
即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
8.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是__3__.
解析 ∵直线AB的方程为+=1,
易知x>0,y>0时xy才能取最大值,
∴1=+≥2,∴|xy|≤3,∴(xy)max=3,
当且仅当==,即当P点的坐标为时,xy取最大值3.
9.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为__16__.
解析 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,
又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,
所以-2(a+b)=ab.
又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,
当且仅当a=b=-4时取等号,即ab的最小值为16.
三、解答题
10.过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.
解析 设点A(x,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.
由题意知则点B(6-x,-y),
解方程组
得则k==8.
故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
11.已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等;
(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解析 (1)设直线在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).
∴直线的方程为y=x,即4x-3y=0.
②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,
又点(3,4)在直线上,∴+=1,∴a=7.
∴直线的方程为x+y-7=0.
综合①②可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.
(2)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
12.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
解析 (1)证明:直线l的方程是
k(x+2)+(1-y)=0,
令解得
故无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解之得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.即k的取值范围是[0,+∞).
(3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).
依题意得解得k>0.
∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|=·=≥×(2×2+4)=4,
等号成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.