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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习全国通用版(理)第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

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第八章 解析几何 第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎2016·四川卷,9‎ ‎2015·全国卷Ⅰ,20(1)‎ 直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容,一般不单独命题,而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.‎ 分值:3~5分 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴__平行或重合__时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围:直线l倾斜角的范围是__[0,π)__.‎ ‎2.直线的斜率 ‎(1)定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=__tan_θ__.‎ ‎(2)计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=____.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x0,y0)‎ ‎__y-y0=k(x-x0)__‎ 不含直线x=x0‎ 斜截式 斜率k与截距b ‎__y=kx+b__‎ 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1,y1),(x2,y2)‎ ‎__=__‎ 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)‎ 截距式 截距a与b ‎__+=1__‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ‎—‎ ‎__Ax+By+C=0(A2+B2≠0)__‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )‎ ‎(3)当直线l1和l2斜率都存在时,若k1=k2,则l1∥l2.( × )‎ ‎(4)在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.( × )‎ ‎(5)任何直线方程都能写成一般形式.( √ )‎ 解析 (1)正确.直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度,不能确定直线的位置.‎ ‎(2)错误.当直线的倾斜角为90°时,其斜率不存在.‎ ‎(3)错误.当k1=k2时,两直线可能平行,也可能重合.‎ ‎(4)错误.当直线与x轴垂直(斜率不存在)时,不能用点斜式方程表示.‎ ‎(5)正确.无论依据哪种形式求解,最后直线方程都能写成一般形式.‎ ‎2.直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为( C )‎ A.30°   B.60°  ‎ C.150°   D.120°‎ 解析 由k=tan α=-,α∈[0°,180°)得α=150°.‎ ‎3.已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( A )‎ A.3x+4y-14=0     B.3x-4y+14=0‎ C.4x+3y-14=0     D.4x-3y+14=0‎ 解析 由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.‎ ‎4.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( A )‎ A.1   B.‎4 ‎ ‎ C.1或3   D.1或4‎ 解析 由1=,得m+2=4-m,m=1.‎ ‎5.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为__4__.‎ 解析 kAC==1,kAB==a-3.‎ 由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.‎ 一 直线的倾斜角与斜率 由斜率求倾斜角的范围的注意点 直线的倾斜角范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分k≥0与k<0两种情况讨论.当斜率k∈[0,+∞)时,α∈;当斜率k∈(-∞,0)时,α∈;当斜率不存在时,α=.‎ ‎【例1】 (1)直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是( B )‎ A. B. C. D. ‎(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围是__(-∞,-]∪[1,+∞)__.‎ 解析 (1)直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,‎ 因为α∈,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].‎ 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].‎ 又θ∈[0,π),所以θ∈,‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)如图,∵kAP==1,kBP==-,‎ ‎∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).‎ 二 直线方程的求法 求直线方程的注意点 ‎(1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在.‎ ‎(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,‎ 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,注意分类讨论,判断截距是否为零.‎ ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程.‎ ‎(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;‎ ‎(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;‎ ‎(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.‎ 解析 (1)设倾斜角为α,则sin α=(0<α<π),‎ 从而cos α=±,则k=tan α=±.‎ 故所求直线方程为y=±(x+4).‎ 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.‎ ‎(2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,‎ 又直线过点(-3,4),从而+=1,解得a=-4或a=9.‎ 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0;‎ ‎(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;‎ 当斜率存在时,设为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),‎ 即kx-y+(10-5k)=0.‎ 由点线距离公式,得=5,解得k=.‎ 故所求直线方程为3x-4y+25=0.‎ 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.‎ 三 直线方程的综合应用 ‎(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.‎ ‎(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.‎ ‎【例3】 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.‎ 解析 依题意设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),‎ 且有A,B(0,2-3k),‎ ‎∴S△ABO=(2-3k)= ‎≥=×(12+12) =12.‎ 当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立,‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 此时直线l的方程为2x+3y-12=0.‎ ‎1.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( B )‎ A.   B. C.∪   D.∪ 解析 直线的斜截式方程为y=-x-,‎ 所以斜率tan α=-,所以-1≤tan α<0,解得≤α<π,‎ 即倾斜角的取值范围是.故选B.‎ ‎2.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为____.‎ 解析 直线x+y-1=0的斜率为-,‎ 所以与其垂直的直线的斜率k=,故所求直线的倾斜角为.‎ ‎3.当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为____.‎ 解析 因为2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0),由解得y=,‎ 所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积为×1×=.‎ 又因为k>0,所以k+≥2=2,‎ 故三角形面积的最大值为.‎ ‎4.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为____.‎ 解析 直线方程可化为+y=1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1).‎ 由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-22+.‎ 由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.‎ 易错点 忽略直线方程的适用范围 错因分析:当使用直线方程协助解题时,如果不能确定直线是否与x轴垂直,则需要讨论.‎ ‎【例1】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点C(2,3)且与圆M交于A,B两点,且=2,求直线a的方程.‎ 解析 ∵圆M的半径r=2,=2,‎ ‎∴圆心M(1,1)到直线a的距离为1.‎ 当直线a垂直于x轴时,符合题意.‎ 当直线a不垂直于x轴时,‎ 设其方程为y-3=k(x-2),即kx-y+(3-2k)=0,‎ ‎∴=1,∴k=,‎ ‎∴y-3=(x-2),即3x-4y+6=0.‎ 综上可知,直线a的方程为x=2或3x-4y+6=0.‎ ‎【跟踪训练1】 过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__5x+3y=0或x-y+8=0__.‎ 解析 当直线过原点时,直线方程为y=-x,即5x+3y=0;‎ 当直线不过原点时,设直线方程为+=1,即x-y=a,代入点(-3,5),得a=-8,即直线方程为x-y+8=0.‎ 课时达标 第46讲 ‎[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现,或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查.‎ 一、选择题 ‎1.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的范围是( C )‎ A.[0,π)     B. C.     D.∪ 解析 当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;‎ 当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率k=-.‎ ‎∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,‎ ‎∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 又α∈[0,π),∴α∈∪.‎ 由上知,倾斜角的范围是,故选C.‎ ‎2.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( D )‎ A.k10)个单位,再沿y轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( D )‎ A.   B.- C.   D.- 解析 设P(x,y)是l上任意一点,由题意知Q(x-a,y+a+1)也在直线l上,所以l的斜率为kPQ=,故选D.‎ ‎6.设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2 = 0 与线段 AB没有交点,则a的取值范围是( B )‎ A.∪ B. C. D.∪ 解析 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,‎ ‎∵kMA==-,kMB==-,‎ 由图可知-a>-且-a<,∴a∈.‎ 二、填空题 ‎7.(2018·黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为__x+2y-2=0或2x+y+2=0__.‎ 解析 设所求直线的方程为+=1,‎ ‎∵A(-2,2)在直线上,∴-+=1,①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,‎ ‎∴|a|·|b|=1.②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解.‎ 故所求的直线方程为+=1或+=1,‎ 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.‎ ‎8.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是__3__.‎ 解析 ∵直线AB的方程为+=1,‎ 易知x>0,y>0时xy才能取最大值,‎ ‎∴1=+≥2,∴|xy|≤3,∴(xy)max=3,‎ 当且仅当==,即当P点的坐标为时,xy取最大值3.‎ ‎9.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为__16__.‎ 解析 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,‎ 又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,‎ 所以-2(a+b)=ab.‎ 又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,‎ 当且仅当a=b=-4时取等号,即ab的最小值为16.‎ 三、解答题 ‎10.过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.‎ 解析 设点A(x,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.‎ 由题意知则点B(6-x,-y),‎ 解方程组 得则k==8.‎ 故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.‎ ‎11.已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程.‎ ‎(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等;‎ ‎(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.‎ 解析 (1)设直线在x,y轴上的截距均为a.‎ ‎①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).‎ ‎∴直线的方程为y=x,即4x-3y=0.‎ ‎②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,‎ 又点(3,4)在直线上,∴+=1,∴a=7.‎ ‎∴直线的方程为x+y-7=0.‎ 综合①②可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.‎ ‎(2)由题意可知,所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).‎ 所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.‎ ‎12.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)证明:直线l过定点;‎ ‎(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ 解析 (1)证明:直线l的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,‎ 令解得 故无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).‎ ‎(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解之得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.即k的取值范围是[0,+∞).‎ ‎(3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).‎ 依题意得解得k>0.‎ ‎∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|=·=≥×(2×2+4)=4,‎ 等号成立的条件是k>0且4k=,即k=,‎ ‎∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎

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