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- 2021-06-11 发布
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课时跟踪检测（二） 小题考法——三角函数的图象与性质
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－<2x－0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f ＝( )
A．2 B．－2
C． D．－
解析：选B ∵函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝，f(x)＝－4sin ωx.∵A(a,0)，B(b，0)是其图象上两点，|a－b|的最小值是1，∴×＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sin πx，则f＝－4sin＝－2.
6．(2018·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A 法一：由f＝2，
得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)， ②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)．
又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，ω＝.
又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝.选项A符合．
法二：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
7．若把函数y＝2cos x(cos x－sin x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：y＝2cos x(cosx－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，该函数的图象向左平移m个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝1＋2sin＝1＋2sin，由题意知2m＋＝＋kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，取k＝1，得到m的最小值为，故选A.
法二：y＝2cos x(cos x－sin x)＝2cos2x－2sin xcos x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝－，k∈Z，则原函数的图象在x轴右侧且离y轴最近的一条对称轴为直线x＝.因为原函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称，所以m的最小值为，故选A.
8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ∵α是三角形的一个内角，
若0<α<，则0<<，0<2α<π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；
若α＝，则＝，2α＝π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中为负数的是cos 2α；
若<α≤，则<≤，π<2α≤.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与cos 2α；
若<α<π，则<<，<2α<2π.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的是cos α与tan 2α.
∴在sin α，sin，cos α，cos 2α，tan 2α，tan中可能为负数的值的个数是2个．故选A.
9．已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin.∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴2×＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，∴g(x)＝2sin＝－2sin，则g(x)在上的最小值为g＝－1，故选B.
10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ，则φ的一个可能值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x)＝3sin(2x＋θ)的图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是.故选D.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则f ＝_______.
解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则其图象的一条对称轴为x＝，所以f＝±2.
答案：±2
12．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________．
解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：
13．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝4sin xsin，则函数f(x)的最小正周期T＝________，在区间上的值域为________．
解析：函数f(x)＝4sin xsin ＝4sin x＝2sin2x＋2sin xcos x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
∵x∈，∴2x－∈.
∴－时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
17．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋1＋
的最大值为3，∴＋1＋＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，∴ω＝.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<，∴2φ＝，φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cos＋2＝－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－＋2×2 018＝504×0－sin－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.
答案：4 035
B组——能力小题保分练
1．曲线y＝2coscos和直线y＝在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|＝( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
解析：选B y＝2coscos＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y＝在y轴右侧与函数y＝2cos·cos在每个周期内的图象都有两个交点，又P3与P7相隔2个周期，故|P3P7|＝2π，故选B.
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]
D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
解析：选C 由题图可知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又f＝2，
∴2sin＝2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，
∴当x＝－时，2×＋＝－π，
f ＝2sin(－π)＝0，
从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；
当x＝－时，2×＋＝－，
∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；
当x∈时，2x＋∈，f(x)∈[－2, ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－ ]，故C正确；
根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．故选C.
3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x；④f(x)＝sin x＋.
其中互为生成函数的是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②④
解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f(x)＝sin，②f(x)＝2sin，可知③f(x)＝sin x的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f(x)＝sin x不与其他函数互为生成函数；同理①f(x)＝sin(④f(x)＝sin x＋)的图象与②f(x)＝2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sin x＋的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到①f(x)＝
sin的图象，∴①④互为生成函数，故选B.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x＝时，函数f(x)取得最小值，则( )
A．f(1)0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝Asin，所以f(－1)＝Asin<0，f(1)＝Asin>0，f(0)＝Asin＝A>0，故f(－1)最小．又sin＝sin＝sin>sin，故f(1)>f(0)．综上可得f(－1)0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则函数f(x)的图象的对称轴为________，φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：x＝＋，k∈Z －
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为________．
解析：由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.
因为点在函数f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.
因为f＝，所以Asin＝，
解得A＝，所以f(x)＝sin.
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的最小值为－.
答案：－
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