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  • 2021-06-11 发布

2020届二轮复习小题考法——三角函数的图象与性质课时作业(全国通用)

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课时跟踪检测(二) 小题考法——三角函数的图象与性质 A组——10+7提速练 一、选择题 ‎1.函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析:选B 由kπ-<2x-0,0<φ<π)为奇函数,A(a,0),B(b,0)是其图象上两点,若|a-b|的最小值是1,则f =(  )‎ A.2 B.-2‎ C. D.- 解析:选B ∵函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,∴φ=,f(x)=-4sin ωx.∵A(a,0),B(b,0)是其图象上两点,|a-b|的最小值是1,∴×=1,∴ω=π,f(x)=-4sin πx,则f=-4sin=-2.‎ ‎6.(2018·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )‎ A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=,φ=- D.ω=,φ= 解析:选A 法一:由f=2,‎ 得ω+φ=+2kπ(k∈Z), ①‎ 由f=0,得ω+φ=k′π(k′∈Z), ②‎ 由①②得ω=-+(k′-2k).‎ 又最小正周期T=>2π,所以0<ω<1,ω=.‎ 又|φ|<π,将ω=代入①得φ=.选项A符合.‎ 法二:∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,‎ ‎∴-=(‎2m+1),m∈N,‎ ‎∴T=,m∈N,‎ ‎∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π,‎ ‎∴ω==,∴f(x)=2sin.‎ 由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.‎ 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.故选A.‎ ‎7.若把函数y=2cos x(cos x-sin x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 法一:y=2cos x(cosx-sin x)=2cos2x-2sin xcos x=1+cos 2x-sin 2x=1+2sin,该函数的图象向左平移m个单位长度后,所得图象对应的函数为y=1+2sin=1+2sin,由题意知‎2m+=+kπ,k∈Z,解得m=-,k∈Z,取k=1,得到m的最小值为,故选A.‎ 法二:y=2cos x(cos x-sin x)=2cos2x-2sin xcos x=1+cos 2x-sin 2x=1+2sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=-,k∈Z,则原函数的图象在x轴右侧且离y轴最近的一条对称轴为直线x=.因为原函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称,所以m的最小值为,故选A.‎ ‎8.(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角,在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能为负数的值的个数是(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:选A ∵α是三角形的一个内角,‎ 若0<α<,则0<<,0<2α<π.‎ ‎∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能为负数的是cos 2α与tan 2α;‎ 若α=,则=,2α=π.‎ ‎∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中为负数的是cos 2α;‎ 若<α≤,则<≤,π<2α≤.‎ ‎∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能为负数的是cos α与cos 2α;‎ 若<α<π,则<<,<2α<2π.‎ ‎∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能为负数的是cos α与tan 2α.‎ ‎∴在sin α,sin,cos α,cos 2α,tan 2α,tan中可能为负数的值的个数是2个.故选A.‎ ‎9.已知x=是函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.- D.- 解析:选B f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin.∵x=是f(x)=2sin图象的一条对称轴,∴2×++φ=kπ+(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=,则f(x)=2sin,∴g(x)=2sin=-2sin,则g(x)在上的最小值为g=-1,故选B.‎ ‎10.(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P ,则φ的一个可能值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D 由函数f(x)=3sin(ωx+θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,得函数f(x)的最小正周期为π,则π=,所以ω=2,函数f(x)=3sin(2x+θ)的图象向右平移φ个单位长度,得到g(x)=3sin(2x+θ-2φ)的图象,因为f(x),g(x)的图象都经过点P,所以sin θ=,sin(θ-2φ)=,又-<θ<,所以θ=,所以sin=,所以-2φ=2kπ+(k∈Z)或-2φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=-kπ(k∈Z)或φ=-kπ-(k∈Z),因为φ>0,所以结合选项知φ的一个可能值是.故选D.‎ 二、填空题 ‎11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的x都有f =f ,则f =_______.‎ 解析:函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意的x都有f =f ,则其图象的一条对称轴为x=,所以f=±2.‎ 答案:±2‎ ‎12.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在区间[2,4]上单调,且f(2)=1,f(4)=-1,则ω=________,f(x)在区间上的值域是________.‎ 解析:由题意知f(x)的最小正周期T=4,∴ω=,‎ ‎∴f(x)=sin.又f(2)=sin(π+φ)=1,‎ ‎∴π+φ=+2kπ,k∈Z.‎ 又|φ|<π,∴φ=-,∴f(x)=sin.‎ 由x∈,得x-∈,‎ ‎∴sin∈,‎ 即f(x)在区间上的值域为.‎ 答案:  ‎13.(2018·金华模拟)已知函数f(x)=4sin xsin,则函数f(x)的最小正周期T=________,在区间上的值域为________.‎ 解析:函数f(x)=4sin xsin =4sin x=2sin2x+2sin xcos x=sin 2x-cos 2x+1=2sin+1,‎ 函数f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎∵x∈,∴2x-∈.‎ ‎∴-时,f′(x)>0,f(x)单调递增.‎ ‎∴当cos x=,f(x)有最小值.‎ 又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),‎ ‎∴当sin x=-时,f(x)有最小值,‎ 即f(x)min=2××=-.‎ 答案:- ‎17.已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+…+f(2 017)+f(2 018)=________.‎ 解析:∵函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A·+1=cos(2ωx+2φ)+1+ 的最大值为3,∴+1+=3,∴A=2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即=4,∴ω=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),可得cos 2φ+1+1=2,∴cos 2φ=0,又0<φ<,∴2φ=,φ=.故函数f(x)的解析式为f(x)=cos+2=-sinx+2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 017)+f(2 018)=-+2×2 018=504×0-sin-sin π+4 036=0-1-0+4 036=4 035.‎ 答案:4 035‎ B组——能力小题保分练 ‎1.曲线y=2coscos和直线y=在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1,P2,P3,…,则|P3P7|=(  )‎ A.π B.2π ‎ C.4π D.6π 解析:选B y=2coscos=cos2x-sin2x=cos 2x,故曲线对应的函数为周期函数,且最小正周期为π,直线y=在y轴右侧与函数y=2cos·cos在每个周期内的图象都有两个交点,又P3与P7相隔2个周期,故|P3P7|=2π,故选B.‎ ‎2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )‎ A.f(x)的图象关于直线x=-对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(-2,- ]‎ D.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象 解析:选C 由题图可知,A=2,T=4×=π,∴ω==2.又f=2,‎ ‎∴2sin=2,+φ=+2kπ,k∈Z,‎ ‎∵|φ|<,∴φ=,‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin,‎ ‎∴当x=-时,2×+=-π,‎ f =2sin(-π)=0,‎ 从而f(x)的图象关于点对称,而不是关于直线x=-对称,故A不正确;‎ 当x=-时,2×+=-,‎ ‎∴f(x)的图象关于直线x=-对称,而不是关于点对称,故B不正确;‎ 当x∈时,2x+∈,f(x)∈[-2, ],结合正弦函数图象的性质,可知若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(-2,- ],故C正确;‎ 根据图象平移变换的法则,可知应将y=2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象,故D不正确.故选C.‎ ‎3.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数互为生成函数.给出下列四个函数:‎ ‎①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);‎ ‎③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.‎ 其中互为生成函数的是(  )‎ A.①② B.①④‎ C.③④ D.②④‎ 解析:选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,可知③f(x)=sin x的图象要与其他函数的图象重合,只经过平移不能完成,还必须经过伸缩变换才能实现,∴③f(x)=sin x不与其他函数互为生成函数;同理①f(x)=sin(④f(x)=sin x+)的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sin x+的图象向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度即可得到①f(x)= sin的图象,∴①④互为生成函数,故选B.‎ ‎4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,且当x=时,函数f(x)取得最小值,则(  )‎ A.f(1)0,故可取k=1,则φ=,故f(x)=Asin,所以f(-1)=Asin<0,f(1)=Asin>0,f(0)=Asin=A>0,故f(-1)最小.又sin=sin=sin>sin,故f(1)>f(0).综上可得f(-1)0)的图象的对称轴与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称轴完全相同,则函数f(x)的图象的对称轴为________,φ=________.‎ 解析:因为函数f(x)=2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称轴完全相同,故它们的最小正周期相同,即=,所以ω=2,故函数f(x)=2sin.令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z,故函数f(x)的图象的对称轴为x=+,k∈Z.令2x+φ=mπ,m∈Z,则x=-,m∈Z,故函数g(x)的图象的对称轴为x=-,m∈Z,故+-+=,m,n,k∈Z,即φ=(m+n-k)π-,m,n,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-.‎ 答案:x=+,k∈Z - ‎6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为,若f=,则函数f(x)在上的最小值为________.‎ 解析:由题意得,函数f(x)的最小正周期T=4×=π=,解得ω=2.‎ 因为点在函数f(x)的图象上,‎ 所以Asin=0,‎ 解得φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=.‎ 因为f=,所以Asin=,‎ 解得A=,所以f(x)=sin.‎ 当x∈时,2x+∈,‎ 所以sin∈,‎ 所以f(x)的最小值为-.‎ 答案:-

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