2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 17页

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算得到复数z,再由共轭复数的概念得到结果.‎ ‎【详解】‎ 复数,共轭复数是－1－i。‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念，较为简单.‎ ‎2．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是(　　)‎ A．9人、7人 B．15人、1人 C．8人、8人 D．12人、4人 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用分层抽样的方法得，∴一班应抽出人，二班应抽出人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7，故选.‎ 点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．‎ ‎3．已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】是的充分不必要条件，根据逆否命题与原命题的等价性可知，是的充分不必要条件，故选B.‎ ‎4．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为(　　)‎ A． B．‎ C． 或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干条件得到a,c的值,再由，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的长轴长为10，故得到2a=10,a=5,焦点到中心的距离为4，故得到c=4,进而得到。分情况，得到椭圆焦点在x轴和y轴两种情况：故椭圆方程为：或.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了椭圆标准方程的求法，属于简单题目.‎ ‎5．设 那么(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的求导法则得到即可.‎ ‎【详解】‎ 已知，根据求导法则得到.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数的基本运算法则，常见函数的求导法则，属于基础题.‎ ‎6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于(　　)‎ A．10 B．22 C．46 D．94‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图得到一次次的循环，进而得到结果。‎ ‎【详解】‎ i=1，s=1,‎ i=2,s=4,‎ i=3,s=10,‎ i=4,s=22,‎ i=5,s=46,‎ i=5>4,退出循环，输出s=46.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构．解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．‎ ‎7．命题：“若-1＜x＜1，则x2＜‎1”‎的逆否命题是 若x≥1或x≤-1，则x2≥1‎ 若x2＜1，则-1＜x＜1‎ 若x2＞1，则x＞1或x＜-1‎ 若x2≥1，则x≥1或x≤-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据四种命题的相互关系，将原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案．‎ 解答：解：命题：“若-1＜x＜1，则x2＜1” 条件为：“若-1＜x＜1”，结论为：“x2＜1”； 故其逆否命题为：若x2≥1，则x≥1或x≤-1 故选D．‎ ‎8．曲线f(x)=x3+x－2在P0点处的切线平行于直线y=4x－1，则P0点坐标为（ ）‎ A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(－1,－4) D．(2,8)和(－1,－4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为曲线f(x)=x3+x－2在P0点处的切线平行于直线y=4x－1，3x02+1=4,解得x0="1," x0=-1,即可知点P的坐标为(1,0)和(－1,－4)，选C ‎9．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（ ）‎ A．A,C互斥 B．B,C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为事件包括三种情况：一是两件次品一件正品，二是一件次品两件正品，三是三件都是正品，所以事件与事件不可能同时发生，因此与互斥，故选B.‎ 考点：互斥事件的定义与判定.‎ ‎10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将事件“拨号不超过三次就接通电话”看成三个事件的和事件，利用古典概型的概率公式求出三个事件的概率，再利用互斥事件的和事件公式求出概率．‎ ‎【详解】‎ 第一次接通电话的概率为 第二次接通电话的概率为 ‎ 第三次接通电话的概率为 ‎ 所以拨号不超过三次就接通电话的概率为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 求事件的和事件关键是判断出事件是互斥事件的和事件还是独立事件的积事件，才能选择合适的公式求出概率．‎ ‎11．函数 (,则 ( )‎ A． B． C． D．大小关系不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 函数 (,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性。‎ ‎12．已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根据|PF1|＝4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．‎ ‎【详解】‎ 设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，‎ ‎∴ex+a＝4（ex﹣a），化简得e＝，‎ ‎∵p在双曲线的右支上，‎ ‎∴x≥a，‎ ‎∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若命题：，则是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全程命题的否定的写法得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 命题：,则是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是全程命题的否定的写法，全程命题的否定是特称命题，符合换量词，否结论，不变条件这一规律。‎ ‎14．在边长为25cm的正方形中挖去腰长为23cm的两个等腰直角三角形（如图），现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出带形区域的面积，并求出正方形面积用来表示全部基本事件，再由几何概型公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件．‎ 设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得 正方形面积为：25×25＝625‎ 两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529‎ 带形区域的面积为：625﹣529＝96‎ ‎∴P（A）＝，‎ 则粒子落在中间带形区域的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎15．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝‎2f(a)成立，则a＝________.‎ ‎【答案】：－1或 ‎【解析】：因为f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(‎3a2＋‎2a＋1)＝4⇒a＝－1或a＝.‎ ‎16．设F为抛物线y2＝8x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，则________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据＝0，可判断点F是△ABC重心，进而可求xA+xB+xC的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得F（2，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，‎ ‎∴xA+xB+xC＝6． ‎ 再由抛物线的定义可得xA+2+xB+2+xC+2＝12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．‎ ‎17．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】椭圆的方程为或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列式得到进而得到方程.‎ ‎【详解】‎ 由,‎ ‎∴椭圆的方程为或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了椭圆方程的求法，求方程一般都是通过题意得到关于a,b,c的齐次方程进而得到结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；‎ ‎①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；‎ ‎②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，‎ ‎∵p∨q为真，而p∧q为假，‎ ‎∴p、q一真一假，‎ 当p真q假时，有，‎ ‎∴﹣2＜a≤1；‎ 当p假q真时，有，‎ ‎∴a≥2‎ ‎∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．‎ 即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数（个）‎ 加工的时间（小时）‎ ‎（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）求出关于的线性回归方程.‎ ‎（3）试预测加工个零件需要多少时间？‎ 附录：参考公式： ，.‎ ‎【答案】(1)略；（2）；（3）大约需要8.05个小时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中所给的数据，可得散点图；（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程;（3）将x＝10代入回归直线方程，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）作出散点图如下：‎ ‎（2）＝（2+3+4+5）＝3.5，＝（2.5+3+4+4.5）＝3.5， ‎ ‎＝54，xiyi＝52.5‎ ‎∴b＝＝0.7，a＝3.5﹣0.7×3.5＝1.05，‎ ‎∴所求线性回归方程为：y＝0.7x+1.05‎ ‎（3）当x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10+1.05＝8.05（小时）．‎ ‎∴加工10个零件大约需要8.05个小时 ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.‎ ‎20．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：‎ 分组 频数 频率 ‎[10，15）‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎[15，20）‎ ‎24‎ n ‎[20，25）‎ m p ‎[25，30）‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 M ‎1‎ ‎（1）求出表中M，p及图中a的值；‎ ‎（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；‎ ‎（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．‎ ‎【答案】（1）； （2）60； （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；（2）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，‎ ‎∴M＝40．‎ ‎∵频数之和为40，‎ ‎∴10+24+m+2＝40，m＝4.．‎ ‎∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，‎ ‎∴‎ ‎（2）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，‎ ‎∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．‎ ‎（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，‎ 设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．‎ 则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，‎ 而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，‎ ‎∴所求概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，考查了古典概型，本题是一个基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为 ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 .4分 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即① 6分 ‎ 设，则 而 ‎ 8分 于是 ‎ ② 10分 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 12分 考点：本题考查了直线与双曲线的位置关系 点评：解答双曲线综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用 ‎22．（本小题满分14分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求 的取值范围.‎ ‎【答案】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．‎ ‎(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)‎ ‎(2) f′(x)＝(x＞0)．‎ ‎①当0＜a＜时，＞2，‎ 在区间(0,2)和上，f′(x)＞0；‎ 在区间上，f′(x)＜0，‎ 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.(6分)‎ ‎②当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)‎ ‎③当a＞时，0＜＜2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.(10分)‎ ‎(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.(11分)‎ 由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，‎ ‎①当0＜a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，‎ 故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2‎ ‎＝－2a－2＋2ln2，‎ ‎∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)‎ ‎②当a＞时，f(x)在]上单调递增，在]上单调递减，‎ 故f(x)max＝f＝－2－－2lna.‎ 由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，‎ ‎∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，(15分)‎ 综上所述，a＞0.(16分)‎ ‎【解析】‎ 解： . ………………2分 ‎（Ⅰ），解得. ………………3分 ‎（Ⅱ） . ………………5分 ‎①当时，，，‎ 在区间上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是，单调递减区间是. ………………6分 ‎②当时，，‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. …………7分 ‎③当时，， 故的单调递增区间是. ………8分 ‎④当时，，‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………9分 ‎（Ⅲ）由已知，在上有. ………………10分 由已知，，由（Ⅱ）可知，‎ ‎①当时，在上单调递增，‎ 故，‎ 所以，，解得，故. ……………11分 ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故.‎ 由可知，，，‎ 所以，，， ………………13分 综上所述，. ………………14分