湖北省“荆荆襄宜”四地七校考试联盟2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 11页

‎2020年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” ‎ 高二期中联考 数 学 试 题 试卷满分：150分 考试时间： 分钟：120分钟 第Ⅰ卷(60分)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.随机变量ξ服从二项分布ξ～B（，），且Eξ=300，Dξ=100，则等于（ ）‎ A. B‎.0 C.1 D.‎ ‎2.已知函数，则=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a6＋a7＝24，S8＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．‎3 C．4 D．8‎ ‎4.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北,某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ）‎ A.105种 B.210种 C.630种 D.1260种 ‎5.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.,则　　‎ A.40 B. C.80 D.‎ ‎8.已知直线y＝a分别与函数y＝和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.如图,是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B.‎ C. D. ‎ E D C B A F ‎11.如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数,,若存在，使得成立，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷(90分)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.‎ ‎14.若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是________.‎ ‎15.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________.‎ ‎16.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，……，则此数列的前119项的和为__________.(参考数据：，，)‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)已知数列{an}满足an+1an=0(n∈N*),且,,成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和为.‎ ‎18.（12分）已知函数f(x)＝，其中a为常数.‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的最大值；‎ ‎(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－2，求a的值.‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，点为棱的中点，点分别为棱上的动点(与所在棱的端点不重合），且满足.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；‎ 方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元.‎ 某工厂准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？‎ ‎21.（12分）已知点为圆上的动点，点在轴上的投影为，点为线段AB的中点，设点的轨迹为.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知直线与交于两点，，若直线的斜率之和为3，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎22.（12分）已知函数，函数的图象在点处的切线方程为. ‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.‎ ‎2020年高二期中联考数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B C A C A C B C A D 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. 131022 ‎ 第12题 参考解析：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ ‎∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0； x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，‎ 同时,若存在，使得成立，‎ 则且，所以，即x2＝lnx1，又所以，‎ 故，令，k＜0，则，‎ 令，解得，令，解得，‎ ‎∴在（﹣∞，﹣3）单调递减，在（﹣3，0）单调递增，‎ ‎∴．故选：D．‎ 三、解答题 ‎17.(1)数列{an}满足an+1an=0(n∈N*),可得数列{an}是公比为2的等比数列,‎ 又知a2,a3+2,a4成等差数列,可得2(a3+2)=a2+a4,‎ 即2(‎4a1+2)=‎2a1+‎8a1,解得a1=2,则an=2n. …………………………………………………………………5分 ‎(2)由（1）知an=2n，所以==…………………7分 ‎=………………………………9分 则.…………………………………………………………………………………………………10分 ‎18.解　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，‎ 令f′(x)＝0，得x＝1.‎ 当00；‎ 当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. …………………………………3分 ‎∴f(x)max＝f(1)＝－1.‎ ‎∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. …………………………………………………6分 ‎(2)f′(x)＝－a，x∈(0，e]，∈.‎ ‎①若，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(e)＝≥0，不合题意. …………………………………………………………………8分 ‎②若，令f′(x)>0得－a >0，结合x∈(0，e]，解得0