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  • 2021-06-11 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第八章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质

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‎ [基础题组练]‎ ‎1.(2020·辽宁大连模拟)已知直线l和平面α,β,且lα,则“l⊥β”是“α⊥β”的(  )‎ A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.由面面垂直的判定定理可得,若lα,l⊥β,则α⊥β,充分性成立;若lα,α⊥β,则l与β平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若lα,则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎2.(2020·河北唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(  )‎ A.①② B.②④‎ C.①③ D.②③‎ 解析:选B.对于①,易证AB与CE所成角为45°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于②,易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,则AB⊥平面CDE;对于③,易证AB与CE所成角为60°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于④,易证ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理EC⊥AB,可得AB⊥平面CDE.故选B.‎ ‎3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图,在三棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是(  )‎ A.AC=BC ‎ B.AB⊥VC C.VC⊥VD ‎ D.S△VCD·AB=S△ABC·VO 解析:选C.因为VO⊥平面ABC,AB平面ABC,所以VO⊥AB.因为VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.又因为VO∩VD=V,所以AB⊥平面VCD.又因为CD平面VCD,所以AB⊥CD.又因为AD=BD,所以AC=BC,故A正确.‎ 又因为VC平面VCD,所以AB⊥VC,故B正确;‎ 因为S△VCD=VO·CD,S△ABC=AB·CD,所以S△VCD·AB=S△ABC·VO,故D正确.由题中条件无法判断VC⊥VD.故选C.‎ ‎4.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  )‎ A.直线AB上 ‎ B.直线BC上 C.直线AC上 ‎ D.△ABC内部 解析:选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.‎ 因为AC平面ABC,‎ 所以平面ABC1⊥平面ABC.‎ 所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.‎ ‎5.如图,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是(  )‎ A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 解析:选D.因为BC∥DF,DF平面PDF,‎ BC平面PDF,‎ 所以BC∥平面PDF,故选项A正确;‎ 在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,‎ 且AE,PE平面PAE,‎ 所以BC⊥平面PAE,‎ 因为DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,‎ 又DF平面PDF,‎ 从而平面PDF⊥平面PAE.‎ 因此选项B,C均正确.‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是边AB上的一个动点,则PM的最小值为________.‎ 解析:作CH⊥AB于H,连接PH.因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,PH为PM的最小值,等于2.‎ 答案:2 ‎7.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是边PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 解析:‎ 连接AC,BD,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)‎ ‎8.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中正确结论的序号是________.‎ 解析:①AE平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PB平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.‎ 答案:①②④‎ ‎9.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.‎ ‎(1)求证:BF∥平面ADP;‎ ‎(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.‎ 证明:‎ ‎(1)如图,取PD的中点为G,连接FG,AG,‎ 因为F是CE的中点,所以FG是梯形CDPE的中位线,‎ 因为CD=3PE,所以FG=2PE,‎ FG∥CD,因为CD∥AB,AB=2PE,‎ 所以AB∥FG,AB=FG,‎ 即四边形ABFG是平行四边形,‎ 所以BF∥AG,‎ 又BF平面ADP,AG平面ADP,‎ 所以BF∥平面ADP.‎ ‎(2)延长AO交CD于点M,连接BM,FM,‎ 因为BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,‎ 所以ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE.‎ 所以FM∥PD,因为PD⊥平面ABCD,‎ 所以FM⊥平面ABCD,所以FM⊥BD,‎ 因为AM∩FM=M,所以BD⊥平面AMF,‎ 所以BD⊥平面AOF.‎ ‎10.(一题多解)如图1,在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于点A,将△PAD沿AD折起,构成如图2所示的四棱锥PABCD,点M在棱PB上,且PM=MB.‎ ‎(1)求证:PD∥平面MAC;‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求点A到平面PBC的距离.‎ 解:(1)证明:在四棱锥PABCD中,连接BD交AC于点N,连接MN,‎ 依题意知AB∥CD,‎ 所以△ABN∽△CDN,‎ 所以==2,‎ 因为PM=MB,‎ 所以==2,‎ 所以在△BPD中,MN∥PD,‎ 又PD平面MAC,MN平面MAC.‎ 所以PD∥平面MAC.‎ ‎(2)法一:因为平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA平面PAD,‎ 所以PA⊥平面ABCD,‎ 所以VPABC=S△ABC·PA=××1=.‎ 因为AB=2,AC==,‎ 所以PB==,PC==,BC==,‎ 所以PB2=PC2+BC2,故∠PCB=90°,‎ 记点A到平面PBC的距离为h,‎ 所以VAPBC=S△PBC·h=×h ‎=h.‎ 因为VPABC=VAPBC,‎ 所以=h,解得h=.‎ 故点A到平面PBC的距离为.‎ 法二:‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA平面PAD,‎ 所以PA⊥平面ABCD,‎ 因为BC平面ABCD,‎ 所以PA⊥BC,‎ 因为AB=2,AC==,‎ BC==,‎ 所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,‎ 又PA∩AC=A,PA,AC平面PAC,‎ 所以BC⊥平面PAC,‎ 过点A作AE⊥PC于点E,则BC⊥AE,‎ 因为PC∩BC=C,PC,BC平面PBC,‎ 所以AE⊥平面PBC,‎ 所以点A到平面PBC的距离为AE===.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是(  )‎ ‎①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;‎ ‎②BC∥平面A′DE;‎ ‎③三棱锥A′FED的体积有最大值.‎ A.①          B.①②‎ C.①②③ D.②③‎ 解析:选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,‎ 所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.‎ ‎②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.‎ ‎③当平面A′DE⊥平面ABC时,三棱锥A′FED的体积达到最大,故选C.‎ ‎2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出下列四个结论:①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面BDF⊥平面BCF;④平面DCF⊥平面BCF,则上述结论可能正确的是(  )‎ A.①③ B.②③‎ C.②④ D.③④‎ 解析:选B.对于①,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;对于②,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以②正确;对于③,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确;对于④,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以④不成立.‎ ‎3.在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:‎ ‎①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;‎ ‎②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;‎ ‎③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.‎ 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)‎ 解析:①假设AC与BD垂直,过点A作AE⊥BD于点E,连接CE.则⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE,而在平面BCD中,EC与BD不垂直,故假设不成立,①错.‎ ‎②假设AB⊥CD,因为AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD,所以AB⊥AC,由AB<BC可知,存在这样的等腰直角三角形,使AB⊥CD,故假设成立,②正确.‎ ‎③假设AD⊥BC,‎ 因为DC⊥BC,所以BC⊥平面ADC,‎ 所以BC⊥AC,即△ABC为直角三角形,且AB为斜边,而AB<BC,故矛盾,假设不成立,③错.综上,填②.‎ 答案:②‎ ‎4.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.‎ 解析:设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1⊥DF.‎ 由已知可以得A1B1=,‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h,‎ 又2×=h×,‎ 所以h=,DE=.‎ 在Rt△DB1E中,B1E==.‎ 由面积相等得× =x,得x=.即线段B1F的长为.‎ 答案: ‎5.(2020·河南郑州第二次质量预测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.‎ ‎(1)求证:AD⊥PB;‎ ‎(2)若E在线段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求出三棱锥D-CEG的体积;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)证明:连接PF,因为△PAD是等边三角形,F是AD的中点,所以PF⊥AD.‎ 因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以BF⊥AD.‎ 又PF∩BF=F,所以AD⊥平面BFP,又PB平面BFP,‎ 所以AD⊥PB.‎ ‎(2)能在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD.‎ 由(1)知AD⊥BF,因为PD⊥BF,AD∩PD=D,所以BF⊥平面PAD.‎ 又BF平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD,‎ 又平面ABCD∩平面PAD=AD,且PF⊥AD,所以PF⊥平面ABCD.‎ 连接CF交DE于点H,过H作HG∥PF交PC于点G,所以GH⊥平面ABCD.‎ 又GH平面DEG,所以平面DEG⊥平面ABCD.‎ 因为AD∥BC,所以△DFH∽△ECH,所以==,‎ 所以==,‎ 所以GH=PF=,‎ 所以VD-CEG=VG-CDE=S△CDE·GH=×DC·CE·sin ·GH=.‎ ‎6.如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.‎ ‎(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF;‎ ‎(2)求证:BD⊥A1F;‎ ‎(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?并说明理由.‎ 解:(1)证明:因为D,M分别为AC,FC的中点,‎ 所以DM∥EF,‎ 又EF平面A1EF,DM平面A1EF,‎ 所以DM∥平面A1EF.‎ ‎(2)证明:因为A1E⊥BD,EF⊥BD且A1E∩EF=E,‎ 所以BD⊥平面A1EF.‎ 又A1F平面A1EF,‎ 所以BD⊥A1F.‎ ‎(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下:‎ 因为平面A1BD⊥平面BCD,平面A1BD∩平面BCD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面BCD,‎ 所以EF⊥平面A1BD.‎ 因为A1B平面A1BD,‎ 所以A1B⊥EF,‎ 又因为EF∥DM,所以A1B⊥DM.‎ 假设A1B⊥CD,‎ 因为CD∩DM=D,‎ 所以A1B⊥平面BCD,‎ 所以A1B⊥BD,‎ 这与∠A1BD为锐角矛盾,‎ 所以直线A1B与直线CD不能垂直.‎

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