专题08++三角形中的三角问题的探究-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破 15页

专题 08 三角形中的三角问题的探究 【自主热身，归纳总结】 1、在△ABC 中，若 9cos2A－4cos2B＝5，则BC AC的值为________． 【答案】：2 3　 【解析】：由题意得，9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5，即 9sin2A＝4sin2B，所以BC AC＝sinA sinB＝2 3. 2、 在△ 中，已知 边上的中线 ，则 的值为 . 【答案】： 【解析】 设 为 的中点，连接 ，则 ，且 , 设 ，在△ 中,由余弦定理可得 ， 即 ,解得 （舍去），即 ， 所以在△ 中,由余弦定理可得 ，即 ， 又因为 ， 所以由正弦定理 ，可得 3、如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝30°，∠ BDC＝120°，CD＝10 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB＝________m. 【答案】： 30　 ABC 5BD = sin A 14 70 E BC DE //DE AB BE x= BDE 71, 3x x= = − 2BC = ABC 2 21 3AC = 30sin 6B = 【解析】：在△BCD 中，由正弦定理得 BC＝ sin120° sin30° ·10＝10 3(m)．在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan60°＝30(m)． 4、在△ 中，边 的垂直平分线交边 于 ，若 ， ， ,则△ 的面积为 . 【答案】： 【解析】 在△ 中，由余弦定理可得 ， 即 ，解得 或 5， 所以 或 12，所以△ 的面积为 或 . 5、在锐角△ 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 , 为 的中点，则 的长为 . 【答案】： （方法 2）由正弦定理 可得 ， 又由 ，可得 ， 又由锐角△ ，可得 , 在△ 中, 由余弦定理可得 ,即 ， ， 所以在△ 中, 由余弦定理可得 , 即 . ABC AB AC D 60C = ° 8BC = 7BD = ABC BCD 3CD = 10AC = ABC 24 3 ABC , ,A B C , ,a b c 4b = 6c = D BC AD 19 4b = 3sin 2A = ABC 3A = π ABC 2 7BC = ABD 19AD = 6 、在锐角三角形 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c. 若 b a＋a b＝6cosC ，则tanC tanA＋tanC tanB的值是 ________． 【答案】：. 4　 【解析】：由b a＋a b＝6cosC 及余弦定理，得b a＋a b＝6×a2＋b2－c2 2ab ，化简得 a2＋b2＝3 2c2.又b a＋a b＝6cosC 及正弦 定 理 ， 得 sinB sinA＋ sinA sinB＝ 6cosC ， 故 sinAsinBcosC ＝ 1 6(sin2B ＋ sin2A) ． 又 tanC tanA＋ tanC tanB＝ sinC cosC(cosA sinA＋cosB sinB)＝ sin2C cosCsinAsinB，所以tanC tanA＋tanC tanB＝ 6sin2C sin2B＋sin2A＝ 6c2 a2＋b2＝4. 7、在△ 中, 角 所对的边分别为 ，且满足 ,则 的最大值 为 ． 【答案】： . 【解析】 由 ，得 ， 由正弦定理可得 ， 由余弦定理可得 ， 化简得 ， 又因为 ，当且仅当 时等号成立，可得 ， 所以 的最大值为 . 8、已知在△ 中， ， ， 为 的中点，当 最小时，△ 的面积 为　　　　　. （2）设 的角 所对的边分别为 ，若 ， ，求 面积的最大值. 解：（1）由题意，得 ， 当 取最大值时，即 ，此时 ， 所以 的取值集合为 . ABC , ,A B C , ,a b c 2 ab c 3 2 2 2 23a b c+ = a b= 2 3 2 ab c ≤ 2 ab c 3 2 ABC 4BC = D BC AD ABC ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 2f C = 3c = ABC∆ ( )f x x 【关联 2】、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ， ． （1）求 的值； （2）求函数 的值域． 【解析】：（1）因为 ，所以 ． 由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ． （2）因为 ，所以 ， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 又因为 ，所以 ， 所以 的值域为 ． 易错警示 第（2）问中易忽略 的范围而出错． 【关联 3】、在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝(sinB－sinC，sinC－sinA)， b＝(sinB＋sinC，sinA)，且 a⊥b. (1) 求角 B 的大小； 4b = 8BA BC⋅ =  2 2a c+ 8BA BC⋅ =  cos 8ac B = 4b = 2 2 32a c+ = 16ac≤ ( )0,πB∈ π0 3B< ≤ ( )f B 31, 2      B (2) 若 b＝c·cosA，△ABC 的外接圆的半径为 1，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) 因为 a⊥b，所以 a·b＝0，即 sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0， 即 sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B， 由正弦定理得 ac＝a2＋c2－b2， 所以 cosB＝a2＋c2－b2 2ac ＝1 2， 因为 B∈(0，π)，所以 B＝π 3. (2) 因为 c·cosA＝b，所以b c＝b2＋c2－a2 2bc ， 即 b2＝c2－a2， 又 ac＝a2＋c2－b2，b＝2RsinB＝ 3， 解得 a＝1，c＝2.(12 分) 所以 S△ABC＝1 2acsinB＝ 3 2 . 例 2 、 在 △ 中 ， 三 个 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， 设 △ 的 面 积 为 ， 且 . （1）求 的大小； （2）设向量 ， ，求 的取值范围． （2）由向量 ， ，得 ． 由（1）知 ，所以 ，所以 ． ABC A B C a b c， ， ABC S B∠ ⋅m n π 3B = 2π 3A C+ = 2π0 3A< < 所以 ． 所以 ． 所以 ．即取值范围是 ． 【变式 1】、在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列． (1) 若BA→ ·BC→ ＝3 2，b＝ 3，求 a＋c 的值； (2) 求 2sinA－sinC 的取值范围． 【解析】：(1) 因为 A，B，C 成等差数列，所以 B＝π 3. 因为BA→ ·BC→ ＝3 2，所以 accosB＝3 2， 所以 1 2ac＝3 2，即 ac＝3. 因为 b＝ 3，b2＝a2＋c2－2accosB， 所以 a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3， 所以(a＋c)2＝12，所以 a＋c＝2 3. (2) 2sinA－sinC＝2sin(2π 3 －C)－sinC ＝2( 3 2 cosC＋1 2sinC)－sinC＝ 3cosC. 因为 0＜C＜2π 3 ，所以 3cosC∈(－ 3 2 ， 3). 所以 2sinA－sinC 的取值范围是(－ 3 2 ， 3). 【变式 2】、在△ABC 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c．已知 ． （1）求角 的大小； （2）设 ，求 T 的取值范围． 【解析】（1）在△ABC 中， ， 因为 ，所以 ， A B C a b B sin 0C ≠ 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． （2） 因为 ，所以 ， 故 ，因此 ， 所以 ． 方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解，若对等式两边同时加 1，再进行转化， 更为便捷；第二问中可利用均值代换，不妨设 ， ， 求解，可简化求解过程． 【关联 1】、已知 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， ．当 取 得最大值时， 的值为 ． 【答案】 【解析】： 设 （ ），则 ， 因 为 ， ， 所 以 由 正 弦 定 理 得 ： ， 所 以 ， ， ， 由 得 ，从而当 ，即 时， 取最大值， 此时 ， sin 0A ≠ 1cos 2B = 0 πB< < π 3B = 2π0 3A< < 4π0 2 3A< < 3 9 2 4T< ≤ A απ= −3 C απ= +3 π0 3 α <≤ ABC△ A B C a b c π 3C = 2c = AC AB⋅  b a 32 + α=∠BAC πα 3 20 << 3 π=C 2=c πα 3 20 << 062 =− πα 12 πα = ABAC ⋅ ， 所以 。 点评：为了研究 ，所以可以考虑以 和 的夹角 为参数，并利用正弦定理将 表示出来， 特别是将 用 表示时，三角恒等变换是关键，然后求出 时， 取最大值，这时再 取 就不困难了。 【关联 2】、 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足 b2－a2＝ ac，则 1 tanA－ 1 tanB的取值范围是________． 【答案】 (1，2 3 3 )　 思路分析 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的 关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以 构造直角三角形，用边的关系处理． 解法 1 原式可化为 1 tanA－ 1 tanB＝cosA sinA－cosB sinB＝sinBcosA－cosBsinA sinAsinB ＝sinB－A sinAsinB .由 b2－a2＝ac 得，b2＝a2＋ac ＝a2＋c2－2accosB，即 a＝c－2acosB，也就是 sinA＝sinC－2sinAcosB，即 sinA＝sin(A＋B)－2sinAcosB＝sin(B －A)，由于△ABC 为锐角三角形，所以有 A＝B－A，即 B＝2A，故 1 tanA－ 1 tanB＝ 1 sinB，在锐角三角形 ABC 中 易知，π 3a，即c a>1，在锐角三角形 ABC 中有 b2＋a2>c2，则 a2＋a2＋ac>c2，即 (c a )2－c a－2<0，解得－10，则 cosθ<1 2，f(θ)是增函数；令 f′(θ)<0， 则 cosθ>1 2，f(θ)是减函数．故当 cosθ＝ 1 2时，sinθ＝ 3 2 ，此时 f(θ)max＝2 3，则PC→ ·PB→ ＋BC→ 2 有最小值，为 2 3. 【关联 4】、满足条件 AB＝2，AC＝ 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是________． 【答案】： 2 2　 解法 1　以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则由 AB＝2 得 A(－1,0)，B(1,0)．设 C(x，y)，由 AC＝ 2BC 得 x＋12＋y2＝ 2· x－12＋y2，即(x－3)2＋y2＝(2 2)2， 所以点 C 在以(3,0)为圆心，半径为 2 2的圆上(去掉与 x 轴的交点)，从而三角形 ABC 的面积的最大值为1 2 ×2×2 2＝2 2.