高中数学选修2-2教学课件第一章 2 36页

§2 综合法与分析法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解直接证明的两种基本方法 —— 综合法和分析法 . 2. 理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 综合法的含义 从 出发 ，利用定义、公理、定理及运算法则， 通过 ， 一步一步地接近要证明 的 ， 直到完成命题的证明，这样的思维方法 称为 . 命题的条件 演绎推理 结论 综合法 求证的结论 2. 分析法的含义 从 出发 ，一步步地探索保证前一个结论成立 的 ， 直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等 . 这样的思维方法 称为 . 充分条件 分析法 探要点 · 究 所然 情境导学 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识 . 探究点一　综合法 思考 1 　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有 什么 特点 ？ 已知 a ， b >0 ，求证： a ( b 2 ＋ c 2 ) ＋ b ( c 2 ＋ a 2 ) ≥ 4 abc . 证明 　因为 b 2 ＋ c 2 ≥ 2 bc ， a >0 ，所以 a ( b 2 ＋ c 2 ) ≥ 2 abc . 又因为 c 2 ＋ a 2 ≥ 2 ac ， b >0 ，所以 b ( c 2 ＋ a 2 ) ≥ 2 abc . 因此 a ( b 2 ＋ c 2 ) ＋ b ( c 2 ＋ a 2 ) ≥ 4 abc . 小结　 此证明过程运用了综合法 . 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 . 例 1 　 在 △ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 A ， B ， C 成等差数列， a ， b ， c 成等比数列，求证： △ ABC 为等边三角形 . 证明　 由 A ， B ， C 成等差数列，有 2 B ＝ A ＋ C ， ① 由于 A ， B ， C 为 △ ABC 的三个内角， 所以 A ＋ B ＋ C ＝ π . ② 由 a ， b ， c 成等比数列，有 b 2 ＝ ac ， ④ 由余弦定理 及 ③ ， 可得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ， 再由 ④ ，得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ ac ，即 ( a － c ) 2 ＝ 0 ， 从而 a ＝ c ，所以 A ＝ C . ⑤ 所以 △ ABC 为等边三角形 . 反思与感悟　 综合法的证明步骤如下： (1) 分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2) 转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程 . 证明　 在 △ ABC 中，由正弦定理及已知条件得 于是 sin B cos C － cos B sin C ＝ 0 ， 即 sin( B － C ) ＝ 0 ，因为－ π< B － C <π ， 从而 B － C ＝ 0 ，所以 B ＝ C . 探究点二　分析法 思考 2 　证明过程有何特点？ 答　 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件 . 小结　 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、定理、定义、公理 ) 为止，这种证明方法叫做分析法 . 思考 3 　综合法和分析法的区别是什么？ 答　 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件 . 反思与感悟　 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法 . 探究点三　综合法和分析法的综合应用 思考 　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？ 答　 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论 Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论 P . 若 P ⇒ Q ，则结论得证 . 例 3 　已知 α ， β ≠ k π ＋ ( k ∈ Z ) ，且 sin θ ＋ cos θ ＝ 2sin α ，　　　　　　 ① sin θ cos θ ＝ sin 2 β . ② 证明　 因为 (sin θ ＋ cos θ ) 2 － 2sin θ cos θ ＝ 1 ， 所以将 ①② 代入，可得 4sin 2 α － 2sin 2 β ＝ 1. ③ 即证 4sin 2 α － 2sin 2 β ＝ 1. 由于上式与 ③ 相同，于是问题得证 . 反思与感悟　 用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用 Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为： P ⇒ P 1 → P 1 ⇒ P 2 →…→ P n ⇒ P ′ ⇓ Q ′ ⇒ Q m ←…← Q 2 ⇒ Q 1 ← Q 1 ⇒ Q 跟踪训练 3 　若 tan( α ＋ β ) ＝ 2tan α ，求证： 3sin β ＝ sin(2 α ＋ β ). 证明　 由 tan( α ＋ β ) ＝ 2tan α 即 sin( α ＋ β )cos α ＝ 2cos( α ＋ β )sin α . ① 要证 3sin β ＝ sin(2 α ＋ β ) ， 即证 3sin [( α ＋ β ) － α ] ＝ sin [( α ＋ β ) ＋ α ] ， 即证 3 [sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β )sin α ] ＝ sin( α ＋ β )cos α ＋ cos( α ＋ β )sin α ， 化简得 sin( α ＋ β )cos α ＝ 2cos( α ＋ β )sin α . 这就是 ① 式 . 所以，命题成立 . 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1 2 3 答案　 D 1 2 3 1 2 3 解析　 根据不等式性质， a > b >0 时，才有 a 2 > b 2 ， 答案　 C 1 2 3 3. 已知 ＝ 1 ，求证： cos α － sin α ＝ 3(cos α ＋ sin α ). 证明　 要证 cos α － sin α ＝ 3(cos α ＋ sin α ) ， 只需证 1 － tan α ＝ 3(1 ＋ tan α ) ， 1 2 3 ∴ 1 － tan α ＝ 2 ＋ tan α ， 即 2tan α ＝－ 1 . ∴ 结论得证 . 呈 重点、现 规律 1. 综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因 . 2. 分析法证题时，一定要恰当地运用 “ 要证 ” 、 “ 只需证 ” 、 “ 即证 ” 等词语 . 3. 在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看