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【数学】2020届一轮复习人教A版选修4-5第一节绝对值不等式学案 10页

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  • 2021-06-11 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版选修4-5第一节绝对值不等式学案

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第一节绝对值不等式 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．　　　↓‎ ‎|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.‎ 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．‎ ‎2．绝对值不等式的解法　―→‎ ‎(1)|x|a型不等式的解法 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ 二、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　)‎ ‎(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎ (二)填一填 ‎1．不等式|5－4x|>9的解集为________．‎ 解析：∵|5－4x|>9，∴5－4x>9或5－4x<－9.‎ ‎∴4x<－4或4x>14，∴x<－1或x>.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 答案： ‎2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.‎ 解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．‎ 解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，‎ 所以所求函数的最小值为8.‎ 答案：8‎ ‎4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．‎ 解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 当－11恒成立．‎ 所以不等式的解集为.‎ 答案： ‎ ‎[典例]　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ ‎[解]　(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎[解题技法]　解绝对值不等式的常用方法 基本性质法 对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a 平方法 两边平方去掉绝对值符号 零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 ‎[题组训练]‎ ‎1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.‎ 解：当x<－1时，‎ 原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，‎ 解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；‎ 当－1≤x≤1时，‎ 原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；‎ 当x>1时，‎ 原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，‎ 解得x≤1，又因为x>1，故无解；‎ 综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1,1]．‎ ‎2．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.‎ 法一：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，‎ 当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；‎ 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；‎ 当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ 法二：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，‎ 两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，‎ 解得－2≤x≤0，‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ ‎(2)由|x－a|＋3x≤0，可得或 即或 当a>0时，不等式的解集为.‎ 由－＝－1，得a＝2.‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．‎ 当a<0时，不等式的解集为.‎ 由＝－1，得a＝－4.‎ 综上，a＝2或a＝－4.‎ ‎ [典例]　(2019·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.‎ ‎(1)解不等式f(x)<|x|＋1；‎ ‎(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.‎ ‎[解]　(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，‎ 即或或 得≤x<2或0(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．‎ 由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m>2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．‎ ‎ [解题技法]　两招解不等式问题中的含参问题 ‎(1)转化 ‎①把存在性问题转化为求最值问题；‎ ‎②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；‎ ‎③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.‎ ‎(2)求最值 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：‎ ‎①利用绝对值的几何意义；‎ ‎②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；‎ ‎③利用零点分区间法．‎ ‎ [题组训练]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x<－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1，‎ 当－1≤x≤2时，显然满足题意，‎ 当x>2时，由－2x＋6≥0，解得24时，由2x－6≤5，得41的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；‎ 若a>0，则|ax－1|<1的解集为，‎ 所以≥1，故0－x；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，‎ 当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；‎ 当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，‎ 综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－33}．‎ ‎(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，‎ ‎∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，‎ ‎∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.‎ ‎∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ ‎6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.‎ ‎(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；‎ ‎(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝ 不等式f(x)＞x＋2等价于或或，‎ 解得x＜1或x＞3，‎ 故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．‎ ‎(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．‎ ‎∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，‎ 解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，‎ 即＋≥.‎ 又min＝，‎ 所以≥，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎8．(2018·福州质检)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，‎ 所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔或或 解得0≤x<1或1≤x≤2或2

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