2020届二轮复习随机事件的概率课件（28张）（全国通用） 28页

知 识 梳 理 1. 概率与频率 (2) 概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个 ______ 附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有 ________ . 这时我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率，记作 P ( A ). 稳定性 常数 2. 事件的关系与运算 包含   定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B ________ 事件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ) ________ ( 或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B ________ 和 事件 ( 并 事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 ___________ ( 或 并 事件 ) A + B ( 或 A ∪ B ) B ⊇ A A ＝ B 和 事件 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生当且仅当 ____________ 且 _____________ ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 ( 或积事件 ) A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B ＝  对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A + B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A ∩ B ＝  P ( A + B ) ＝ 1 事件 A 发生 事件 B 发生 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围： _____________ . (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ 1. (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ 0. (4) 互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A + B ) ＝ _____________ . ② 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ _____________ . 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) [ 微点提醒 ] 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 事件发生的频率与概率是相同的 .( 　　 ) (2) 在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值 .( 　　 ) (3) 若随机事件 A 发生的概率为 P ( A ) ，则 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.( 　　 ) (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率 .( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 2. ( 必修 3P157A9 改编 ) 容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10 ， 20) [20 ， 30) [30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间 [10 ， 40) 的频率为 ( 　　 ) A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 答案　 B 3. ( 必修 3P139 例 3 改编 ) 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，事件 “ 至少有一名女生 ” 与事件 “ 全是男生 ” ( 　　 ) A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件 C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件也不是对立事件 解析 　 “ 至少有一名女生 ” 包括 “ 一男一女 ” 和 “ 两名女生 ” 两种情况，这两种情况再加上 “ 全是男生 ” 构成全集，且不能同时发生，故 “ 至少有一名女生 ” 与 “ 全是男生 ” 既是互斥事件，也是对立事件 . 答案 　 C 4. (2019· 长沙月考 ) 将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中 “ 正面向上恰有 5 次 ” 是 ( 　　 ) A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 解析　 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 0 ～ 10 ，都有可能发生，正面向上 5 次是随机事件 . 答案　 B 5. (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不用现金支付的概率为 ( 　　 ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析　 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为 1 － (0.15 ＋ 0.45) ＝ 0.4. 答案　 B 考点一　随机事件的关系 【例 1 】 (1) 把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件 “ 甲分得红牌 ” 与 “ 乙分得红牌 ” ( 　　 ) A. 是对立事件 B. 是不可能事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 (2) 设条件甲： “ 事件 A 与事件 B 是对立事件 ” ，结论乙： “ 概率满足 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 ” ，则甲是乙的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 (1) 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件 . 答案　 (1)C 　 (2)A 规律方法 　 1. 准确把握互斥事件与对立事件的概念： (1) 互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生； (2) 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 . 2. 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 . 【训练 1 】 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数，其中： ① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③ 至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④ 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 . 上述事件中，是对立事件的是 ( 　　 ) A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③ 解析 　从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数 . 其中 “ 至少有一个是奇数 ” 包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数构成对立事件 . 又 ①②④ 中的事件可以同时发生，不是对立事件 . 答案 　 C 考点二　随机事件的频率与概率 【例 2 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20 ， 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10 ， 15) [15 ， 20) [20 ， 25) [25 ， 30) [30 ， 35) [35 ， 40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 . 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2) 当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 200 × 6 ＋ (450 － 200) × 2 － 450 × 4 ＝－ 100 ； 若最高气温位于区间 [20 ， 25) ，则 Y ＝ 300 × 6 ＋ (450 － 300) × 2 － 450 × 4 ＝ 300 ； 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 450 × (6 － 4) ＝ 900 ， 所以，利润 Y 的所有可能值为－ 100 ， 300 ， 900. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20 ， 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 规律方法 　 1. 概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 . 2. 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 . 提醒　 概率的定义是求一个事件概率的基本方法 . 【训练 2 】 如图， A 地到火车站共有两条路径 L 1 和 L 2 ，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间 ( 分钟 ) 10 ～ 20 20 ～ 30 30 ～ 40 40 ～ 50 50 ～ 60 选择 L 1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L 2 的人数 0 4 16 16 4 (1) 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2) 分别求通过路径 L 1 和 L 2 所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3) 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径 . 解　 (1) 由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 ＋ 12 ＋ 16 ＋ 4 ＝ 44( 人 ) ， (2) 选择 L 1 的有 60 人，选择 L 2 的有 40 人，故由调查结果得频率为 所用时间 ( 分钟 ) 10 ～ 20 20 ～ 30 30 ～ 40 40 ～ 50 50 ～ 60 L 1 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3) 设 A 1 ， A 2 分别表示甲选择 L 1 和 L 2 时，在 40 分钟内赶到火车站； B 1 ， B 2 分别表示乙选择 L 1 和 L 2 时，在 50 分钟内赶到火车站 . 由 (2) 知 P ( A 1 ) ＝ 0.1 ＋ 0.2 ＋ 0.3 ＝ 0.6 ， P ( A 2 ) ＝ 0 ＋ 0.1 ＋ 0.4 ＝ 0.5 ， ∵ P ( A 1 ) ＞ P ( A 2 ) ， ∴ 甲应选择 L 1 . 同理， P ( B 1 ) ＝ 0.1 ＋ 0.2 ＋ 0.3 ＋ 0.2 ＝ 0.8 ， P ( B 2 ) ＝ 0 ＋ 0.1 ＋ 0.4 ＋ 0.4 ＝ 0.9 ， ∵ P ( B 1 ) ＜ P ( B 2 ) ， ∴ 乙应选择 L 2 . 考点三　互斥事件与对立事件的概率 【例 3 】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1) 至多 2 人排队等候的概率； (2) ( 一题多解 ) 至少 3 人排队等候的概率 . 解　 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A ， “ 1 人排队等候 ” 为事件 B ， “ 2 人排队等候 ” 为事件 C ， “ 3 人排队等候 ” 为事件 D ， “ 4 人排队等候 ” 为事件 E ， “ 5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F ，则事件 A ， B ， C ， D ， E ， F 彼此互斥 . (1) 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G ，则 G ＝ A + B + C ， 所以 P ( G ) ＝ P ( A + B + C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝ 0.1 ＋ 0.16 ＋ 0.3 ＝ 0.56. (2) 法一 　记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则 H ＝ D + E + F ， 所以 P ( H ) ＝ P ( D + E + F ) ＝ P ( D ) ＋ P ( E ) ＋ P ( F ) ＝ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.44. 法二　 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则其对立事件为事件 G ， 所以 P ( H ) ＝ 1 － P ( G ) ＝ 0.44. 【训练 3 】 ( 一题多解 ) 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球 . 从中随机取出 1 球，求： (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率； (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 . 解　法一　 ( 利用互斥事件求概率 ) 记事件 A 1 ＝ { 任取 1 球为红球 } ， A 2 ＝ { 任取 1 球为黑球 } ， A 3 ＝ { 任取 1 球为白球 } ， A 4 ＝ { 任取 1 球为绿球 } ， 根据题意知，事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率为 (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 法二　 ( 利用对立事件求概率 ) (1) 由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A 1 ＋ A 2 的对立事件为 A 3 ＋ A 4 ，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 [ 思维升华 ] 1 . 对于给定的随机事件 A ，由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ) ，因此可以用频率 f n ( A ) 来估计概率 P ( A ). 2. 对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生 . 3. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1) 直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 .