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- 2021-06-11 发布
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第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.[改编题]给出下列命题,其中真命题的个数为( )
①原点能判断二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧;
②不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方;
③点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2019北京,5,5分][理]若x,y满足|x|≤1 - y,且y≥ - 1,则3x+y的最大值为( )
A. - 7 B.1 C.5 D.7
3.[2019浙江,3,4分]若实数x,y满足约束条件x-3y+4≥0,3x-y-4≤0,x+y≥0,则z=3x+2y的最大值是( )
A. - 1 B.1 C.10 D.12
4.[2015山东,6,5分][理]已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3 B.2 C. - 2 D. - 3
5.[2020广东七校联考]若x,y满足约束条件x≥-2,x+y≥0,x-y+2≤0,则z=x - 2y的最大值为 .
6.[2015新课标全国Ⅰ,15,5分][理]若x,y满足约束条件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,则yx的最大值为 .
考法1平面区域问题
1 [2015重庆,10,5分]若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形及其内部,且其面积等于43,则m的值为
A. - 3 B.1 C.43 D.3
先正确作出不含参数m的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域,然后通过平移直线x - y=0来观察原不等式组所围成平面区域的形状是否为三角形,从而得出参数m的取值范围,最后根据不等式组表示的平面区域的面积求出参数m的值.
作出不等式组表示的平面区域,如图7 - 2 - 1中阴影部分(包含边界)所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域的形状为三角形,则m> - 1.由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,即A(1 - m,1+m).由x+2y-2=0,x-y+2m=0,解得x=23-43m,y=23+23m,即B(23--43m,23+23m).易知直线x - y+2m=0与x轴交于点D( - 2m,0).
因为S△ABC=S△ADC - S△BDC=12(2+2m)[1+m - (23+23m)]=13(m+1)2=43,所以m=1.
B
1.不等式组2x+y-6≤0,x+y-3≥0,y≤2表示的平面区域的面积为( )
A.4 B.1 C.5 D.无穷大
考法2求目标函数的最值(范围)
命题角度1 求线性目标函数的最值
2[2020成都市高三摸底测试]若实数x,y满足约束条件x+2y-2≤0,x-1≥0,y≥0,则z=x - 2y的最小值为
A.0 B.2 C.4 D.6
思路一 先画出不等式组表示的平面区域,然后平移直线x - 2y=0,再根据目标函数的几何意义确定出其最小值.
思路二 先求出可行域各顶点的坐标,然后分别计算出各顶点处的目标函数值,再找出最小值.
解法一 (图解法)画出不等式组表示的平面区域,如图7 - 2 - 2中阴影部分(包含边界)所示,由z=x - 2y得y=12x - 12z,其表示斜率为12的动直线.由x=1,x+2y-2=0,得A(1,12),由图可知,当动直线y=12x - 12z经过点A(1,12)时,z取得最小值(由纵截距定最优解,注意纵截距最大时,z最小),即zmin=1 - 2×12=0.
解法二 (界点定值法)由x+2y-2=0,x-1=0,得x=1,y=12,此时z=0;由x+2y-2=0,y=0,得x=2,y=0,此时z=2;由x-1=0,y=0,得x=1,y=0,此时z=1.综上所述,z的最小值为0.
A
2.[2019天津,2,5分][理]设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z= - 4x+y的最大值为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
命题角度2 求非线性目标函数的最值
3 若实数x,y满足x-y+1≤0,x>0,y≤2,则z=2y2x+1的取值范围是
A.[43,4] B.[43,4) C.[2,4] D.(2,4]
作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化简变形,利用目标函数的几何意义,进而可得目标函数的取值范围.
作出不等式组表示的平面区域如图7 - 2 - 3中阴影部分(不包括边界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2).
图7 - 2 - 3(注意点B是空心点)
Z=2y2x+1=yx+12=y-0x-(-12),则z的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M( - 12,0)连线所在直线的斜率.(斜率型)
可知kMA=2-01-(-12)=43,kMB=2-00-(-12)=4,结合图形可得43≤z<4.
故z=2y2x+1的取值范围是[43,4).
B
3.设x,y满足约束条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3,则z=(x+1)2+y2的最大值为( )
A.80 B.45 C.25 D.172
考法3含参线性规划问题
4已知z=2x+y,其中实数x,y满足y≥x,x+y≤2,x≥a,且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是
A.211 B.14 C.4 D.112
作出不等式组表示的平面区域,利用z的几何意义,结合z的最大值是最小值的4倍建立方程,即可得出结果.
作出不等式组表示的平面区域如图7 - 2 - 4中阴影部分(包括边界)所示.(把参数当成常数)
由z=2x+y,得y= - 2x+z.
由图象可知,当直线y= - 2x+z经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z最大.
由x+y=2,y=x,解得x=1,y=1,即A(1,1),故zmax=2×1+1=3,
当直线y= - 2x+z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最小.
由x=a,y=x,解得x=a,y=a,即B(a,a),故zmin=2×a+a=3a.(求线性目标函数的最值)
由z的最大值是最小值的4倍,得3=4×3a,即a=14.(构造方程求参数)
B
4.若实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+2y-4≥0,2x+y-5≤0,且3(x - a)+2(y+1)的最大值为5,则a= .
考法4线性规划的实际应用
5 某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车,为人们的出行提供了一种新的交通方式.该市的市民小王喜欢自驾游,他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动,招募了30名自驾游爱好者租车旅游,他们计划租用A,B两种型号的宝马轿车,已知A,B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人,每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆,要求租车总数不超过12辆且不少于6辆,并且A,B两种型号的宝马轿车至少各租用1辆,则租车所需的租金最少为 元.
先确定变量,然后根据已知条件列出变量所满足的不等式组以及目标函数,进而根据目标函数的几何意义确定最优解,求得目标函数的最值,最后还原为实际问题即可.
设分别租用A,B两种型号的宝马轿车x辆、y辆,所需的总租金为z元,则z=600x+1000y,其中x,y满足不等式组5x+5y≥30,6≤x+y≤12,x≥1,y≥1,x,y∈N*,作出不等式组x+y≥6,x+y≤12,x≥1,y≥1所表示的平面区域如图7 - 2 - 5中阴影部分(包含边界)所示,
目标函数可化为y= - 35x+z1000,由图可知当直线y= - 35x+z1000过点C时,目标函数z取得最小值.由x+y=6,y=1,解得C(5,1).所以总租金z的最小值为600×5+
1000×1=4000(元).
5.[2016全国卷Ⅰ,16,5分][理]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
301
1.B ①当原点在直线Ax+By+C=0上时,无法判断Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧,故①错误;②x - y+1>0表示的平面区域是直线x - y+1=0下方的区域,故②错误;③将直线同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相同,将异侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相反,故③正确.选B.
2.C 令z=3x+y,画出不等式组|x|≤1 - y,y≥ - 1,即不等式组x≤1 - y,x≥0,y≥ - 1或 - x≤1 - y,x<0,y≥ - 1表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 1中阴影部分(包含边界)所示,作出直线y= - 3x并平移,由数形结合可知,当平移后的直线过点C(2, - 1)时,z=3x+y取得最大值,zmax=3×2 - 1=5.故选C.
图D 7 - 2 - 1
3.C 作出可行域如图D 7 - 2 - 2中阴影部分(包含边界)所示,由数形结合可知,当直线z=3x+2y过点A(2,2)时,z取得最大值,zmax=6+4=10.故选C.
图D 7 - 2 - 2
4.B 画出不等式组所表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 3中阴影部分(包含边界)所示.因为目标函数z=ax+y的最大值为4,即目标函数对应的直线与所画平面区域有公共点时,其在y轴上的截距的最大值为4,作出过点D(0,4)的直线,由图可知,目标函数对应的直线过点B(2,0)时,z取得最大值,故a×2+0=4,解得a=2.故选B.
图D 7 - 2 - 3
5. - 3 作出可行域,如图D 7 - 2 - 4中阴影部分所示,由z=x - 2y,可得y=12x - 12z,其表示斜率为12,纵截距为 - 12z的直线,作出直线y=12x并平移,当平移后的直线过点A( - 1,1)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最大值,zmax= - 1 - 2×1= - 3.
图D 7 - 2 - 4
6.3 作出可行域如图D 7 - 2 - 5中阴影部分所示,易知在点A(1,3)处,yx取得最大值3.
图D 7 - 2 - 5
1.B 不等式组2x+y - 6≤0,x+y - 3≥0,y≤2表示的平面区域如图D 7 - 2 - 6中阴影部分(包含边界)所示,△ABC的面积即为所求.由图求得点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则△ABC的面积为S=12×(2 - 1)×2=1.故选B.
图D 7 - 2 - 6
2.C 画出可行域,如图D 7 - 2 - 7中阴影部分(包含边界)所示,
图D 7 - 2 - 7
作出直线 - 4x+y=0并平移,可知当直线z= - 4x+y过点A时,z取得最大值.由x= - 1,x - y+2=0可得x= - 1,y=1,所以点A的坐标为( - 1,1),故zmax=
- 4×( - 1)+1=5.故选C.
3.A 作出不等式组x - y+5≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 8中阴影部分(包含边界)所示.
图D 7 - 2 - 8
(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点P( - 1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P( - 1,0)的距离最大.
解方程组x=3,x - y+5=0,得x=3,y=8,即点A的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80.故选A.
4.2 设z=3(x - a)+2(y+1),作出不等式组表示的平面区域如图 D 7 - 2 - 9中阴影部分(包含边界)所示.
D 7 - 2 - 9
由z=3(x - a)+2(y+1),得y= - 32x+3a - 2+z2,作出直线y= - 32x,平移该直线,易知当直线z=3(x - a)+2(y+1)过点A(1,3)时,z取得最大值,
又目标函数的最大值为5,所以3(1 - a)+2×(3+1)=5,解得a=2.
5.216 000 由题意,设生产x件产品A,生产y件产品B,利润z=2 100x+900y,
作出不等式组1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x≥0,y≥0表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 10中阴影部分(包含边界)所示,
图D 7 - 2 - 10
由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).