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  • 2021-06-11 发布

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题

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哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试 数 学 试 题(文 科) 第Ⅰ卷 (选择题, 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.复数 为纯虚数,则实数 为(  ) A. B. C. D. 2.若向量 ,则 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则 ( ) A.8 B. C. D. 4.设 为两个平面,则 ∥ 的充要条件是( ) A. 内有无数条直线与 平行 B. , 平行于同一条直线 C. 内有两条相交直线与 平行 D . , 垂直于同一平面 5.已知曲线 在 处的切线过点 ,则实数 ( ) A. B. C. D. 6.函数 在 的图像大致为 ( ) i ai − + 2 1 a 2 2− 2 1− 2 1 )2,1(),3,2( −== ba =−⋅ )2( baa }{ na n nS 1 1 11, 27m m ma a a a− += + + = 45mS = m = 9 10 11 α β, α β α β α β α β α β xeaxf )12()( += 0=x )1,2( =a 3 3− 3 1 3 1− 2 sin( )( ) sin( )2 x xf x x x π π − += + + ],[ ππ− A. B. C. D. 7. 若把函数 的图象关于点 对称,将其图象沿 轴向右 平移 个单位后,得到函数 的图象,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 8. 如图,三棱锥 中, , , 分别为 的中点,则异面直线 与 所成角余弦值为( ) A. B. C. D. 9. 是两个平面, 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 ,那么 ;②如果 ,那么 ; ③如果 ,那么 ;④如果 ,那么 与 所成的角和 与 所 成的角相等.其中正确的命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. 定义在 的函数 满足 ,当 时,恒有 成立, 若 , ,则 大小关系为( ) x ,α β ,m n , , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , / /m nα α⊥ m n⊥ / / ,mα β α⊂ / /m β / / , / /m n α β m α n β ( ) sin(2 )( )2f x x πϕ ϕ= + < ,06 π −   6 π ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= − 3 2 1 2 1 A BCD− 90DAB DAC BAC∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB AD AC= = = ,M N ,CD BC AM DN 1 6 3 6 5 6 5 6 R )(xf )1()1( +−=+ xfxf 1≠x )()( xfxfx ′>′ 21 << m )(log),4(log),2( 22 mfcfbfa m === cba ,, A. B. C. D. 11. 在 中, ,则三角形的 形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D .无法确定 12.设定义在 的函数 的导函数为 ,且满足 ,则关于 的 不等式 的解集( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知 ,则 . 14.已知等比数列 的首项为 ,前 项和为 ,若数列 为等比数列,则 . 15.已知 则 的最大值是 .Com] 16.在四棱锥 中, 底面 , ,若点 为棱 上一点,满足 ,则 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)[来源:Z&xx&k.Com] 已知关于 的不等式 的解集为 . (1)求 的值; 1=AB cba >> abc >> bca >> cab >> ABC∆ 2sin 4sin 3sinC CB A CA B AB⋅ = ⋅ + ⋅   ABC∆ (0, )+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) 3 ( ) 0xf x f x′ + > x 3 1 ( 3) (3) 03 x f x f − − − <   )6,3( )3,0( )6,0( ),6( +∞ 2cos 4 4 π α + =   =α2sin }{ na 1a n nS { }12nS a− 3 2 a a = ,08,0,0 =−++>> xyyxyx xy ABCDP − ⊥PA ABCD ,2,//, ===⊥ APDCADDCABABAD E PC ACBE ⊥ = EC PE x |2 | 1( )x m m R− ≤ ∈ [0,1] m (2)若 均为正数,且 ,求 的最小值. 18.(本小题满分 12 分) 已知 中,角 所对的边分别为 ,且满足 . (1)求角 的大小; (2)若 的周长为 12,面积为 ,求三角形三边长. [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 19.(本小题满分 12 分) 三棱柱 中, 平面 , 为正三角形, 为 中点, 为 线段 的中点, 为 中点 . (1)求证: 面 ;[来源:学|科|网] (2)求证: , ,a b c a b c m+ + = 1 1 1 3 1 3 1 3 1a b c + ++ + + ABC∆ , ,A B C , , ,a b c sin cos( )6c B b C π= − C ABC∆ 4 3 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC D 1B B F 1C D M AB / /FM 1 1A ACC AF BC⊥ [来源:学_科_网] 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 项和 满足 ,且 . (1)求数列 的通项公式; (2)令 ,求数列 的前 项和 . 21.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, =135°, 底面 , , 分别为 的中点,点 在线段 上.[来源:Zxxk.Com] (1)求证:面 ⊥面 ; (2)若 为线段 的中点,求直线 与平面 所成角的正切值. { }na n nS 2( 1)n nn a S n+ = + 1 1a = { }na 11 3 2 na n nb a −= + +  { }nb n nT P ABCD− ABCD BCD∠ PA ⊥ ABCD 2AB AC PA= = = ,E F ,BC AD M PD EMF PAC M PD ME PAD 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 由两个不同的极值点 . (1)求实数 的取值范围; (2)证明: . 哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试 数 学 答 案(文科) 一、选择题 二、填空题 三、解答题 17. (本小题满分 10 分) (1) , 由已知解集为 得 解得 ;……5 分 2( ) 2 x kf x e x= − 1 2,x x k 1 2 2x x+ > 1 5: ;6 10: ;11 ,12ADBCD DDBCA B A− − 3 1 113. ; 14. ; 15.4; 16.4 2 3 1 12 | 1 1 2 1 2 2 m mx m x m x − +− ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ [0,1] 1 02 1 12 m m − = + = 1m = (2) 当且仅当 时, 的最小值 ……10 分 (注:“当且仅当 时”不写,扣 2 分) 18. (本小题满分 12 分) (1)由正弦定 理得, , 即 , ; ……6 分 (2)由余弦定理得 , , 解得 ……12 分 19. (本小题满分 12 分) (1)取 AA1 中点 N,连结 C1N,ND,取 C1N 中点 E,连结 EF,AE,∵AN//BD,AN=BD,∴四边形 ANDB 为平行四边形,∴AB//ND,AB=ND,∵NE=EC1,C1F=FD,∴ ,又∵ ∴四边 形 MAEF 为平行四边形,∴MF//AE,∵ 面 ,AE 面 , 面 .……6 分 (2)设 中点为 ,连接 , 三棱柱 中, , 为 中点,所以四边形 为梯形, 又 为 中点, 为线段 的中点,所以 , 三棱柱 中, ,所以 ,所以 平面 , 三棱柱 中, 平面 ,且 平面 ,所以 ① 1a b c+ + = [(3 1) (3 1) 3( 1)]a b c+ + + + + 21 1 1( ) (1 1 1)3 1 3 1 3 1a b c + + ≥ + ++ + + 1 3a b c= = = 1 1 1 3 1 3 1 3 1a b c + ++ + + 3 2 1 3a b c= = = sin sin sin cos( )6C B B C π= − sin 3 cosC C= tan 3C = 3C π= 2 2 2c a b ab= + − 342 3 2 1 == abS 12=++ cba 4=== cba NDEF 2 1//= NDAM 2 1//= ⊄MF 1 1A ACC ⊂ 1 1A ACC / /FM 1 1A ACC BC P PF 1A F 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /BB CC D 1B B 1BDC C P BC F 1C D 1/ /PF CC 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AA CC 1 / /AA PF AF ⊂ 1A APF 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1AA BC⊥ 正 三角形中, 为 中点,则 ② 由①②及 得 平面 ,所以 ……12 分 20. (本小题满分 12 分) (1) , 时, , 两式相减得: ……2 分 因为 ,所以 ,……4 分 又 ,所以数列 为首项 ,公差 的等差数列,所以 .……6 分 (2) ……8 分 ……12 分 21. (本小题满分 12 分) (1)∵ 面 ABCD,EF 面 ABCD,∴EF AP 在 中,AB=AC, ,∴AB AC, 又 ,∴四边形 ABEF 为平行四边形,∴AB//EF,因此,A C EF AP AC=C,AP 面 PAC,AC 面 PAC,∴EF 面 PAC 又 EF 面 EMF,∴面 ⊥面 . ……6 分 (2)连接 ① P BC AP BC⊥ 1AA AP A= BC ⊥ 1A APF AF BC⊥ 2( 1)n nn a S n+ = + 2n ≥ 2 1 1( 1)( 1) ( 1)n nn a S n− −− + = + − 1( 1) ( 1) 2( 1)n nn a n a n−− − − = − 2n ≥ 1 2n na a −− = 1 1a = { }na 1 1a = 2d = 2 1na n= − 1 12 3 2 2 3 4na n nb n n− −= + = +  2(2 2 ) (4 1)3 4 12 4 1 n n n n nT n n + −= + = + + −− ⊥PA ⊂ ⊥ ABC∆ °=∠=∠ 45ACBABC ⊥ BEAF =// ⊥  ⊂ ⊂ ⊥ ⊂ EMF PAC ,AE AM / / ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC = ⇒ ⊥  ⇒ ⊥    中 , 为 的中点 中 ② 由①②及 得 所以 是 在平面 中的射影, 是 与平面 所成的角;……9 分 等腰直角三角形 , ,所以 , ,又 为 的中点,故 ,直线 与平面 所成角的正切值为 .……12 分 22.(本小题满分 12 分) (1) 若 ,故舍去; , 所以 ,.……2 分 , 又 , 设 , 所 以 , PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥  ⇒ ⊥⊂  平面 平面 PA AD A= AE PAD⊥ 平面 AM EM PAD EMA∠ EM PAD ABC 2AB AC= = 2AE = 2 2 2 2 2 2 3 2 BC AB AD PA ABCD PA AD PD PA = = ⇒ = ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = =  平面 M PD 3AM = 6tan 3 AERt MAE EMA AM ∠ = = 中 ME PAD 6 3 ( ) , ( )x xf x e kx f x e k′ ′′= − = − 0, ( ) 0 ( ) ( )k f x f x f x′′ ′≤ ≥则 恒成立,则 单调递增,则 至多有一个极值点 0, ( ) 0 ln ; ( ) 0 lnk f x x k f x x k′′ ′′∴ > > ⇒ > < ⇒ < ( ) ,ln ) (ln ,f x k k′ ∞ +∞在( - 递减, )递增 (ln ) (1 ln ) 0f k k k k e′ = − < ⇒ > 1 1(0) 1 0, (1,ln ), ( ) 0f x k f x′ ′= > ∃ ∈ = (2ln ) ( 2ln )f k k k k′ = − 2( ) 2ln , ( ) 1 0( )h k k k h k k ek ′= − = − > > ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 0h k e h k h e e+∞ > = − >在 递增, 时函数 有两个不同的极值点 .……6 分 (2) , 设 , 则 , ……12 分 2 2(ln ,2ln ), ( ) 0x k k f x′∃ ∈ = 1 2 1 2( ) 0 , ( ) 0f x x x x x f x x x x′ ′> ⇒ < > < ⇒ < <,或 , ( ) ( ) ( )1 1 2 1( ) , +f x x x x x−∞ ∞所以 在 递增, , 递减, , 递增 k e> ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) 0, ( ) 0 ln ln , ln ln ,x xf x e kx f x e kx x k x x k x′ ′= − = = − = ⇒ = − = − 2 2 1 1 ln xx x x − = + 2 1 x tx = 2 1 1 2 ln lnln , ,1 1 t t tx x t x xt t − = = =− − 2 1 ln ln ( 1)1 1 t t tx x tt t + = + >− − ( ) ln ln 2( 1),( 1) 1 1( ) ln 1, ( ) 0,( 1) g t t t t t t tg t t g t tt t = + − − > −′ ′′= + − = > > 1( ) ln 1 (1, ) 1 ( ) (1) 0g t t g t gt ′ ′ ′= + − +∞ > > =在 递增,所以t 时, ( ) (1, ) 1 ( ) (1) 0g t g t g+∞ > > =在 递增,所以t 时, 1 ln ln 2( 1) 0, ln ln 2( 1)t t t t t t t t t> + − − > + > −时, 即 1 2 ln ln1 2, 2( 1) t t tt x xt +> > + >−时, 即

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