- 453.22 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试
数 学 试 题(文 科)
第Ⅰ卷 (选择题, 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.复数 为纯虚数,则实数 为( )
A. B. C. D.
2.若向量 ,则 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则 ( )
A.8 B. C. D.
4.设 为两个平面,则 ∥ 的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与 平行 B. , 平行于同一条直线
C. 内有两条相交直线与 平行 D . , 垂直于同一平面
5.已知曲线 在 处的切线过点 ,则实数 ( )
A. B. C. D.
6.函数 在 的图像大致为 ( )
i
ai
−
+
2
1 a
2 2−
2
1−
2
1
)2,1(),3,2( −== ba =−⋅ )2( baa
}{ na n nS 1 1 11, 27m m ma a a a− += + + = 45mS = m =
9 10 11
α β, α β
α β α β
α β α β
xeaxf )12()( += 0=x )1,2( =a
3 3−
3
1
3
1−
2
sin( )( )
sin( )2
x xf x
x x
π
π
− +=
+ +
],[ ππ−
A. B. C.
D.
7. 若把函数 的图象关于点 对称,将其图象沿 轴向右
平移 个单位后,得到函数 的图象,则 的最大值为( )
A. B.
C.
D.
8. 如图,三棱锥 中, , ,
分别为 的中点,则异面直线 与 所成角余弦值为( )
A. B. C. D.
9. 是两个平面, 是两条直线,有下列四个命题:
①如果 ,那么 ;②如果 ,那么 ;
③如果 ,那么 ;④如果 ,那么 与 所成的角和 与 所
成的角相等.其中正确的命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10. 定义在 的函数 满足 ,当 时,恒有 成立,
若 , ,则 大小关系为( )
x
,α β ,m n
, , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , / /m nα α⊥ m n⊥
/ / ,mα β α⊂ / /m β / / , / /m n α β m α n β
( ) sin(2 )( )2f x x
πϕ ϕ= + < ,06
π −
6
π
( )y g x= ( ) ( )y f x g x= −
3 2 1
2 1
A BCD− 90DAB DAC BAC∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB AD AC= = =
,M N ,CD BC AM DN
1
6
3
6
5
6
5
6
R )(xf )1()1( +−=+ xfxf 1≠x )()( xfxfx ′>′
21 << m )(log),4(log),2( 22 mfcfbfa m === cba ,,
A. B. C. D.
11. 在 中, ,则三角形的 形状是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D .无法确定
12.设定义在 的函数 的导函数为 ,且满足 ,则关于 的
不等式 的解集( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13.已知 ,则 .
14.已知等比数列 的首项为 ,前 项和为 ,若数列 为等比数列,则 .
15.已知 则 的最大值是 .Com]
16.在四棱锥 中, 底面 ,
,若点 为棱 上一点,满足 ,则 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)[来源:Z&xx&k.Com]
已知关于 的不等式 的解集为 .
(1)求 的值;
1=AB
cba >> abc >> bca >> cab >>
ABC∆ 2sin 4sin 3sinC CB A CA B AB⋅ = ⋅ + ⋅ ABC∆
(0, )+∞ ( )f x ( )f x′ ( ) 3 ( ) 0xf x f x′ + > x
3
1 ( 3) (3) 03
x f x f − − − <
)6,3( )3,0( )6,0( ),6( +∞
2cos 4 4
π α + =
=α2sin
}{ na 1a n nS { }12nS a− 3
2
a
a
=
,08,0,0 =−++>> xyyxyx xy
ABCDP − ⊥PA ABCD ,2,//, ===⊥ APDCADDCABABAD
E PC ACBE ⊥ =
EC
PE
x |2 | 1( )x m m R− ≤ ∈ [0,1]
m
(2)若 均为正数,且 ,求 的最小值.
18.(本小题满分 12 分)
已知 中,角 所对的边分别为 ,且满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的周长为 12,面积为 ,求三角形三边长.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
19.(本小题满分 12 分)
三棱柱 中, 平面 , 为正三角形, 为 中点, 为
线段 的中点, 为 中点 .
(1)求证: 面 ;[来源:学|科|网]
(2)求证:
, ,a b c a b c m+ + = 1 1 1
3 1 3 1 3 1a b c
+ ++ + +
ABC∆ , ,A B C , , ,a b c sin cos( )6c B b C
π= −
C
ABC∆ 4 3
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC D 1B B F
1C D M AB
/ /FM 1 1A ACC
AF BC⊥
[来源:学_科_网]
20.(本小题满分 12 分)
已知数列 的前 项和 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
21.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, =135°, 底面
, , 分别为 的中点,点 在线段 上.[来源:Zxxk.Com]
(1)求证:面 ⊥面 ;
(2)若 为线段 的中点,求直线 与平面 所成角的正切值.
{ }na n nS 2( 1)n nn a S n+ = + 1 1a =
{ }na
11 3 2 na
n nb a −= + + { }nb n nT
P ABCD− ABCD BCD∠ PA ⊥
ABCD 2AB AC PA= = = ,E F ,BC AD M PD
EMF PAC
M PD ME PAD
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 由两个不同的极值点 .
(1)求实数 的取值范围;
(2)证明: .
哈师大附中 2017 级高三学年上学期期中考试
数 学 答 案(文科)
一、选择题
二、填空题
三、解答题
17. (本小题满分 10 分)
(1) ,
由已知解集为 得 解得 ;……5 分
2( ) 2
x kf x e x= − 1 2,x x
k
1 2 2x x+ >
1 5: ;6 10: ;11 ,12ADBCD DDBCA B A− −
3 1 113. ; 14. ; 15.4; 16.4 2 3
1 12 | 1 1 2 1 2 2
m mx m x m x
− +− ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤
[0,1]
1 02
1 12
m
m
− = + =
1m =
(2)
当且仅当 时, 的最小值 ……10 分
(注:“当且仅当 时”不写,扣 2 分)
18. (本小题满分 12 分)
(1)由正弦定 理得, ,
即 , ; ……6 分
(2)由余弦定理得 , ,
解得 ……12 分
19. (本小题满分 12 分)
(1)取 AA1 中点 N,连结 C1N,ND,取 C1N 中点 E,连结 EF,AE,∵AN//BD,AN=BD,∴四边形 ANDB
为平行四边形,∴AB//ND,AB=ND,∵NE=EC1,C1F=FD,∴ ,又∵ ∴四边
形 MAEF 为平行四边形,∴MF//AE,∵ 面 ,AE 面 , 面
.……6 分
(2)设 中点为 ,连接 ,
三棱柱 中, , 为 中点,所以四边形 为梯形,
又 为 中点, 为线段 的中点,所以 ,
三棱柱 中, ,所以 ,所以 平面 ,
三棱柱 中, 平面 ,且 平面 ,所以 ①
1a b c+ + =
[(3 1) (3 1) 3( 1)]a b c+ + + + + 21 1 1( ) (1 1 1)3 1 3 1 3 1a b c
+ + ≥ + ++ + +
1
3a b c= = = 1 1 1
3 1 3 1 3 1a b c
+ ++ + +
3
2
1
3a b c= = =
sin sin sin cos( )6C B B C
π= − sin 3 cosC C=
tan 3C =
3C
π=
2 2 2c a b ab= + − 342
3
2
1 == abS 12=++ cba
4=== cba
NDEF 2
1//= NDAM 2
1//=
⊄MF 1 1A ACC ⊂ 1 1A ACC / /FM
1 1A ACC
BC P PF 1A F
1 1 1ABC A B C−
1 1/ /BB CC D 1B B
1BDC C
P BC F 1C D
1/ /PF CC
1 1 1ABC A B C−
1 1/ /AA CC 1 / /AA PF AF ⊂ 1A APF
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1AA BC⊥
正 三角形中, 为 中点,则 ②
由①②及 得 平面 ,所以 ……12 分
20. (本小题满分 12 分)
(1) ,
时, ,
两式相减得: ……2 分
因为 ,所以 ,……4 分
又 ,所以数列 为首项 ,公差 的等差数列,所以 .……6 分
(2) ……8 分
……12 分
21. (本小题满分 12 分)
(1)∵ 面 ABCD,EF 面 ABCD,∴EF AP
在 中,AB=AC, ,∴AB AC,
又 ,∴四边形 ABEF 为平行四边形,∴AB//EF,因此,A C EF
AP AC=C,AP 面 PAC,AC 面 PAC,∴EF 面 PAC
又 EF 面 EMF,∴面 ⊥面 . ……6 分
(2)连接
①
P BC AP BC⊥
1AA AP A= BC ⊥ 1A APF AF BC⊥
2( 1)n nn a S n+ = +
2n ≥ 2
1 1( 1)( 1) ( 1)n nn a S n− −− + = + −
1( 1) ( 1) 2( 1)n nn a n a n−− − − = −
2n ≥ 1 2n na a −− =
1 1a = { }na 1 1a = 2d = 2 1na n= −
1 12 3 2 2 3 4na n
nb n n− −= + = +
2(2 2 ) (4 1)3 4 12 4 1
n
n
n
n nT n n
+ −= + = + + −−
⊥PA ⊂ ⊥
ABC∆ °=∠=∠ 45ACBABC ⊥
BEAF =// ⊥
⊂ ⊂ ⊥
⊂ EMF PAC
,AE AM
/ /
ABC AB AC E BC AE BC AE AD
ABCD AD BC
= ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
中 , 为 的中点
中
②
由①②及 得
所以 是 在平面 中的射影, 是 与平面 所成的角;……9 分
等腰直角三角形 , ,所以 ,
,又 为 的中点,故
,直线 与平面 所成角的正切值为 .……12
分
22.(本小题满分 12 分)
(1)
若 ,故舍去;
,
所以 ,.……2 分
,
又 ,
设 , 所 以
,
PA ABCD AE PA
AE ABCD
⊥ ⇒ ⊥⊂
平面
平面
PA AD A= AE PAD⊥ 平面
AM EM PAD EMA∠ EM PAD
ABC 2AB AC= = 2AE =
2 2 2 2 2
2 3
2
BC AB AD
PA ABCD PA AD PD
PA
= = ⇒ =
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
=
平面 M PD 3AM =
6tan 3
AERt MAE EMA AM
∠ = = 中 ME PAD 6
3
( ) , ( )x xf x e kx f x e k′ ′′= − = −
0, ( ) 0 ( ) ( )k f x f x f x′′ ′≤ ≥则 恒成立,则 单调递增,则 至多有一个极值点
0, ( ) 0 ln ; ( ) 0 lnk f x x k f x x k′′ ′′∴ > > ⇒ > < ⇒ <
( ) ,ln ) (ln ,f x k k′ ∞ +∞在( - 递减, )递增
(ln ) (1 ln ) 0f k k k k e′ = − < ⇒ >
1 1(0) 1 0, (1,ln ), ( ) 0f x k f x′ ′= > ∃ ∈ =
(2ln ) ( 2ln )f k k k k′ = −
2( ) 2ln , ( ) 1 0( )h k k k h k k ek
′= − = − > >
( ) ( , ) ( ) ( ) 2 0h k e h k h e e+∞ > = − >在 递增,
时函数 有两个不同的极值点 .……6 分
(2)
, 设 , 则 ,
……12 分
2 2(ln ,2ln ), ( ) 0x k k f x′∃ ∈ =
1 2 1 2( ) 0 , ( ) 0f x x x x x f x x x x′ ′> ⇒ < > < ⇒ < <,或 ,
( ) ( ) ( )1 1 2 1( ) , +f x x x x x−∞ ∞所以 在 递增, , 递减, , 递增
k e> ( )f x 1 2,x x
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2( ) 0, ( ) 0 ln ln , ln ln ,x xf x e kx f x e kx x k x x k x′ ′= − = = − = ⇒ = − = −
2
2 1
1
ln xx x x
− = + 2
1
x tx
=
2 1 1 2
ln lnln , ,1 1
t t tx x t x xt t
− = = =− −
2 1
ln ln ( 1)1 1
t t tx x tt t
+ = + >− −
( ) ln ln 2( 1),( 1)
1 1( ) ln 1, ( ) 0,( 1)
g t t t t t t
tg t t g t tt t
= + − − >
−′ ′′= + − = > >
1( ) ln 1 (1, ) 1 ( ) (1) 0g t t g t gt
′ ′ ′= + − +∞ > > =在 递增,所以t 时,
( ) (1, ) 1 ( ) (1) 0g t g t g+∞ > > =在 递增,所以t 时,
1 ln ln 2( 1) 0, ln ln 2( 1)t t t t t t t t t> + − − > + > −时, 即
1 2
ln ln1 2, 2( 1)
t t tt x xt
+> > + >−时, 即